Questão 65 (CFS 1) da EEAR 2023

Temos o triângulo ABC retângulo em A, com \hat{C}=30^\circ e hipotenusa BC=10\sqrt{2}. O ângulo \hat{BDA}=60^\circ é externo ao triângulo BDC, então \hat{DBC}=60^\circ-30^\circ=30^\circ. Logo BDC é isósceles, com DB=DC.

1. Cateto AB, oposto ao ângulo de 30°: AB=BC\cdot\sen 30^\circ=10\sqrt{2}\cdot\dfrac12=5\sqrt{2}.

2. No triângulo retângulo ABD, o ângulo em D mede 60° e BD é a hipotenusa: \sen 60^\circ=\dfrac{AB}{BD}.

3. Então BD=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}.

4. Como DC=BD, temos DC=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}\ \text{cm}.

Conferência: AC=10\sqrt{2}\cdot\cos30^\circ=5\sqrt{6} e AD=BD\cdot\cos60^\circ=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}. Então DC=AC-AD=5\sqrt{6}-\dfrac{5\sqrt{6}}{3}=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}, o que confirma o resultado.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula AC (que vale 5\sqrt{6}) e esquece de subtrair AD.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A3\sqrt{6} não resulta de nenhuma relação trigonométrica do problema; é um valor sem justificativa.
• B5\sqrt{6} é o comprimento de todo o cateto AC, não de DC.
• C\frac{5\sqrt{6}}{2} vem de tomar a metade de AC, sem usar o ângulo de 60° em D.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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