PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 (CFS 2) da EEAR 2023

CFS 2 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

– Sejam dois polígonos convexos de n e (n + 1) lados. Se a diferença entre o número de suas diagonais é 7, o valor de n é _____.

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. C
    9
  4. D
    10
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Resolução comentada

O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é d(n)=\frac{n(n-3)}{2}: cada vértice liga-se a n-3 outros (não vale ele mesmo nem os dois vizinhos), e dividimos por 2 porque cada diagonal foi contada duas vezes.

O polígono de n+1 lados tem d(n+1)=\frac{(n+1)(n-2)}{2} diagonais.

A diferença é 7:

  1. \frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=7
  2. Desenvolvendo: (n^2-n-2)-(n^2-3n)=14
  3. Simplificando: 2n-2=14
  4. Logo n=8.

Conferindo: octógono tem \frac{8\cdot5}{2}=20 diagonais e o eneágono tem \frac{9\cdot6}{2}=27. A diferença é 27-20=7, como pedido.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom n=7: heptágono (14) e octógono (20) têm diferença 6, não 7.
  • CCom n=9: 27 e 35 diagonais, diferença 8.
  • DCom n=10: 35 e 44 diagonais, diferença 9.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 2. Prova oficial ↗