Questão 52 (CFS 1) da EEAR 2023

Question

– Se a função inversa de \text{f}\colon \mathbb{R}^*_- \to \mathbb{R}^*_+; \text{f}(\text{x}) = \dfrac{1}{-\text{x}} é a função g, então tem-se

A
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}^*_-; \text{g}(\text{x}) = \dfrac{1}{-\text{x}}
B
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}^*_-; \text{g}(\text{x}) = -\text{x}
C
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_- \to \mathbb{R}^*_+; \text{g}(\text{x}) = \dfrac{1}{-\text{x}}
D
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_- \to \mathbb{R}^*_+; \text{g}(\text{x}) = -\text{x}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 (CFS 1) da EEAR 2023

CFS 1 · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

– Se a função inversa de \text{f}\colon \mathbb{R}^*_- \to \mathbb{R}^*_+; \text{f}(\text{x}) = \dfrac{1}{-\text{x}} é a função g, então tem-se

A
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}^*_-; \text{g}(\text{x}) = \dfrac{1}{-\text{x}}
B
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}^*_-; \text{g}(\text{x}) = -\text{x}
C
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_- \to \mathbb{R}^*_+; \text{g}(\text{x}) = \dfrac{1}{-\text{x}}
D
\text{g}\colon \mathbb{R}^*_- \to \mathbb{R}^*_+; \text{g}(\text{x}) = -\text{x}

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Resolução comentada

Para achar a inversa, troque os papéis de domínio e contradomínio e isole x na lei da função.

Escreva y = \dfrac{1}{-x}, com x<0 e y>0.
Multiplique os dois lados por -x: y\cdot(-x) = 1.
Isole x: -x = \dfrac{1}{y}, ou seja, x = -\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{-y}.
Troque os nomes das variáveis: g(x) = \dfrac{1}{-x}.

A função f é a sua própria inversa quanto à lei. Falta conferir o domínio e o contradomínio.

O domínio de g é o contradomínio de f, que é \mathbb{R}^*_+. O contradomínio de g é o domínio de f, que é \mathbb{R}^*_-.

Conferência: para x>0, \dfrac{1}{-x} é negativo, e isso bate com o contradomínio \mathbb{R}^*_-. Exemplo: f(-2)=\dfrac{1}{2} e g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{-1/2}=-2.

Portanto g\colon \mathbb{R}^*_+ \to \mathbb{R}^*_-, com g(x)=\dfrac{1}{-x}.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas A e C têm a mesma lei; a diferença está só no domínio e no contradomínio, que na inversa devem ser trocados em relação a f.

Por que as outras alternativas estão erradas

BTem domínio e contradomínio corretos, mas a lei -x está errada, pois g(x) deve ser \frac{1}{-x}.
CMantém domínio \mathbb{R}^*_- e contradomínio \mathbb{R}^*_+ iguais aos de f, sem inverter; além disso, \frac{1}{-x} com x<0 daria valores positivos, mas a inversa deve partir de \mathbb{R}^*_+.
DNão inverte domínio e contradomínio e usa a lei errada -x.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Questão 52 no caderno CFS 1 da EEAR 2023

Fonte: EEAR 2023 · CFS 1. Prova oficial ↗