PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 68 (CFS 1) da EEAR 2022

CFS 1 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

– Seja ABC um triângulo retângulo em A, tal que \hat{\text{B}} = 60^\circ. Se o perímetro do triângulo é 9(\sqrt{3} + 1)\text{ cm}, a hipotenusa mede _______ cm.

  1. A
    2\sqrt{3}
  2. B
    3\sqrt{3}
  3. C
    4\sqrt{3}
  4. D
    6\sqrt{3}
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Resolução comentada

Como o triângulo é retângulo em A e \hat{B}=60^\circ, o ângulo \hat{C} vale 30^\circ. Trata-se do triângulo 30°-60°-90°, cujos lados guardam uma proporção fixa.

Seja a a hipotenusa (lado BC). Os catetos são:

  • cateto oposto a 30^\circ (lado AB): a\,\sen 30^\circ = \dfrac{a}{2};
  • cateto oposto a 60^\circ (lado AC): a\,\sen 60^\circ = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.

O perímetro é a soma dos três lados:

  1. P = a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a\sqrt{3}}{2}
  2. Colocando \dfrac{a}{2} em evidência: P = \dfrac{a}{2}\,(2 + 1 + \sqrt{3}) = \dfrac{a}{2}\,(3+\sqrt{3})
  3. Igualando ao dado: \dfrac{a}{2}(3+\sqrt{3}) = 9(\sqrt{3}+1)
  4. Isolando: a = \dfrac{18(\sqrt{3}+1)}{3+\sqrt{3}}
  5. Note que 3+\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3}+1), então a = \dfrac{18(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \dfrac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}.

Conferindo: catetos 3\sqrt{3} e 9; perímetro 6\sqrt{3}+3\sqrt{3}+9 = 9\sqrt{3}+9. ✓

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor pequeno demais; resulta de erro ao isolar a hipotenusa na equação do perímetro.
  • BÉ o cateto menor oposto ao ângulo de 30°... na verdade é o cateto AB, não a hipotenusa.
  • CNão satisfaz o perímetro dado; vem de erro na proporção entre os lados do triângulo 30°-60°-90°.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: EEAR 2022 · CFS 1. Prova oficial ↗