PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 51 (CFS 2) da EEAR 2022

CFS 2 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

– Seja \text{O} o centro da circunferência que passa por \text{A}, \text{B}, \text{C} e \text{D}. Se \text{C}\hat{\text{O}}\text{D} = 120^\circ e se \overline{\text{AC}} passa por \text{O}, então \text{A}\hat{\text{B}}\text{D} = ______.

Circunferência de centro O com os pontos A, B, C e D em sua borda. O segmento AC passa pelo centro O. Há os segmentos AB, BD e o raio OD, com o ângulo COD demarcado por um arco.

  1. A
    30^\circ
  2. B
    45^\circ
  3. C
    60^\circ
  4. D
    90^\circ
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Resolução comentada

Use a relação entre ângulo central e ângulo inscrito: um ângulo inscrito mede metade do arco que ele enxerga.

  1. O ângulo central C\hat{O}D = 120^\circ é igual ao arco CD que ele enxerga (o menor, que não contém A nem B). Logo, \overset{\frown}{CD} = 120^\circ.

  2. Como AC passa por O, AC é diâmetro e o arco AC (de um lado) mede 180^\circ.

  3. O ângulo A\hat{B}D é inscrito, com vértice em B. Ele enxerga o arco AD que não contém B. Na figura, indo de A para D pela direita, esse arco é o menor, e fica do lado oposto a B e C.

  4. Como A, O, C estão alinhados, o ângulo A\hat{O}D é suplementar de C\hat{O}D:

A\hat{O}D = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
  1. Então o arco AD = 60^\circ, e o ângulo inscrito vale:
A\hat{B}D = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana: 60^\circ é o ângulo central A\hat{O}D, e o aluno esquece de dividir por 2 para obter o inscrito.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão decorre de nenhuma relação do problema; valor sem justificativa.
  • CUsa o arco de 60^\circ (ou 120^\circ/2) sem a correta relação: confunde o ângulo central AOD com o inscrito ABD.
  • DAssocia o diâmetro AC a um ângulo reto, mas A\hat{B}D não enxerga o diâmetro.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: EEAR 2022 · CFS 2. Prova oficial ↗