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Questão 71 (CFS 1) da EEAR 2021

CFS 1 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

– Os pontos O e P são os centros de duas circunferências que possuem raios medindo, respectivamente, 8\text{ cm} e 3\text{ cm}, conforme a figura. Se \text{OP} = 5\sqrt{37}\text{ cm} e se \overline{\text{AB}} é tangente a essas circunferências, em A e B, então \text{AB} = ______ \text{cm}.

Duas circunferências de centros O e P, com raios medindo 8 e 3, respectivamente, e um segmento de reta AB tangente exteriormente a ambas nos pontos A e B.

  1. A
    28
  2. B
    29
  3. C
    30
  4. D
    31
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Resolução comentada

A tangente externa comum a duas circunferências forma, com os raios nos pontos de tangência, um trapézio retângulo OABP: os raios OA e PB são perpendiculares a AB, logo paralelos entre si.

Para achar AB, traçamos por P uma paralela a AB, que encontra OA em C. Fica formado o triângulo retângulo OCP, com:

  1. cateto OC = OA - CA = 8 - 3 = 5\ \text{cm} (pois CA = PB = 3);
  2. hipotenusa OP = 5\sqrt{37}\ \text{cm};
  3. outro cateto CP = AB, o que queremos.

Pelo teorema de Pitágoras:

AB^2 = OP^2 - OC^2 = (5\sqrt{37})^2 - 5^2
AB^2 = 25\cdot 37 - 25 = 925 - 25 = 900
AB = \sqrt{900} = 30\ \text{cm}

O resultado é exato, o que confirma que a construção está correta.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado sem relação com a conta; não sai de \sqrt{OP^2-(8-3)^2}.
  • BValor aproximado sem fundamento; a conta correta dá exatamente 900 sob a raiz.
  • DValor que não resulta de nenhuma conta correta; o erro típico é usar 8+3 no lugar de 8-3, o que dá \sqrt{925-121}\approx 28{,}4.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: EEAR 2021 · CFS 1. Prova oficial ↗