PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 67 (CFS 2) da EEAR 2021

CFS 2 · Matemática: Números complexos

– Considere o complexo z = \frac{1 + \text{i}}{1 - \text{i}}. O valor de z^{1983} é:

  1. A
    -1
  2. B
    0
  3. C
    \text{i}
  4. D
    -\text{i}
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Resolução comentada

Primeiro, simplifique z multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, 1+i:

z=\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)^2}{1-i^2}

Como (1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i e 1-i^2 = 1-(-1)=2, temos:

z=\frac{2i}{2}=i

Assim, z^{1983}=i^{1983}.

As potências de i se repetem de 4 em 4:

  • i^0=1
  • i^1=i
  • i^2=-1
  • i^3=-i
  • i^4=1, e o ciclo recomeça.

Para saber onde i^{1983} cai no ciclo, basta o resto da divisão de 1983 por 4:

  1. 1983 = 4\cdot 495 + 3, pois 4\cdot 495=1980.
  2. O resto é 3, então i^{1983}=i^3=-i.

Logo, z^{1983}=-i.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde a i^2 ou i^{1982}; erra o resto da divisão do expoente por 4.
  • BZero não é potência de i; o módulo de z é 1, então z^n nunca se anula.
  • CSeria i^{1} (resto 1); confunde o resto 3 com o expoente de z, ou esquece que i^3=-i.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: EEAR 2021 · CFS 2. Prova oficial ↗