Questão 50 (CFS 1) da EEAR 2021

Use a lei dos senos: em qualquer triângulo, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá o mesmo valor.

O lado a = BC é oposto ao ângulo de 75^\circ (vértice A). O lado AB = 5\sqrt{6} é oposto ao ângulo de 60^\circ (vértice C).

1. Monte a proporção:
   

   \frac{a}{\sen 75^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sen 60^\circ}

2. Substitua os valores, com \sen 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}:
   

   a = \frac{5\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{6}\,(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2\sqrt{3}}

3. Simplifique \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}:
   

   a = \frac{5\sqrt{2}\,(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2} = \frac{5\,(2+\sqrt{12})}{2} = \frac{5\,(2+2\sqrt{3})}{2} = 5\,(1+\sqrt{3})

Logo a = 5(1+\sqrt{3})\ \text{cm}, e o termo que completa a lacuna é 1+\sqrt{3}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão resulta de nenhuma simplificação correta; erra ao tratar \sqrt{12} ou \sqrt{6}\cdot\sqrt{2} no cálculo.
• CIgnora o termo \sqrt{6} do seno de 75°, mantendo só parte da soma.
• DPerde o termo 1, errando a simplificação de 2+2\sqrt{3}.

Assunto: Lei dos senos e lei dos cossenos.