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Questão 49 (CFS 1) da EEAR 2021

CFS 1 · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Um poliedro convexo de 32 arestas tem apenas 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Dessa forma, o valor de x é

  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. D
    14
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Cada aresta do poliedro é compartilhada por exatamente 2 faces. Por isso, se somarmos os lados de todas as faces, contamos cada aresta duas vezes:

3\cdot(\text{faces triangulares}) + 4\cdot(\text{faces quadrangulares}) = 2A

Substituindo os valores do enunciado (A = 32, 8 triângulos e x quadriláteros):

  1. Lados dos triângulos: 3\cdot 8 = 24.
  2. Lados dos quadriláteros: 4x.
  3. Total: 24 + 4x = 2\cdot 32 = 64.
  4. Então 4x = 64 - 24 = 40.
  5. Logo x = 10.

Conferindo com a relação de Euler (V - A + F = 2): o número de faces é F = 8 + 10 = 18, então V = 2 + 32 - 18 = 16. É um valor inteiro e positivo, e é coerente: a soma dos graus dos vértices é 2A = 64, dando média 4 arestas por vértice, o que é possível (por exemplo, todos os vértices com 4 arestas).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ARepete o número de faces triangulares, sem resolver a equação das arestas.
  • CResulta de usar 24+4x=72 ou de erro na conta, não corresponde à contagem das arestas.
  • DVem de igualar 24+4x a 80, o que não corresponde a 2A=64.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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Fonte: EEAR 2021 · CFS 1. Prova oficial ↗