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Questão 70 (CFS 2) da EEAR 2018

CFS 2 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

– Considere o quadrilátero ABCO, de vértices A, B e C na circunferência e vértice O no centro dela. Nessas condições x mede

Circunferência com centro em O e pontos A, B e C pertencentes a ela, formando o quadrilátero ABCO. O ângulo no vértice A mede 50°, o ângulo no vértice C mede x, e o ângulo central não convexo em O mede 220°.

  1. A
    30^\circ
  2. B
    45^\circ
  3. C
    55^\circ
  4. D
    60^\circ
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Resolução comentada

O quadrilátero ABCO tem vértices A, B, C na circunferência e O no centro. Os ângulos que a figura dá são: em A, 50° (ângulo OAB); em O, 220° marcado do lado de dentro, pelo arco grande, e em C o ângulo x (ângulo BCO).

A ideia é usar a soma dos ângulos internos de um quadrilátero, que vale 360^\circ. Mas atenção ao ângulo em O: o quadrilátero é não convexo, e o ângulo interno em O é o de 220^\circ mostrado na figura (o lado de baixo, que contém o interior de ABCO).

As medidas dadas então valem:

  1. Ângulo em A: 50^\circ
  2. Ângulo em O: 220^\circ
  3. Ângulo em C: x
  4. Ângulo em B: \hat{B}, desconhecido

Primeiro, pela soma dos ângulos internos:

50^\circ + \hat{B} + x + 220^\circ = 360^\circ \Rightarrow \hat{B} + x = 90^\circ

Precisamos de mais uma relação. O ângulo central que enxerga o arco AC menor (o que não passa por B) é 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ. O ângulo inscrito \hat{B} (ângulo ABC) enxerga o arco AC que não contém B, que mede 140^\circ. Logo:

\hat{B} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ

Substituindo, 70^\circ + x = 90^\circ não pode ser aplicado diretamente: o ângulo interno em B do quadrilátero não convexo é o ângulo ABC, que enxerga o arco AC que contém O, ou seja, o arco de 220^\circ. Então:

\hat{B} = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ

Substituindo na soma:

50^\circ + 110^\circ + x + 220^\circ = 360^\circ \Rightarrow x = -20^\circ

Isso é impossível, então o ângulo em O interno ao quadrilátero é 140^\circ, o que a figura não indica. Refazendo com \hat{O}=140^\circ e \hat{B}=110^\circ: o arco AC que contém B mede 220^\circ, logo \hat{B}=110^\circ e:

50^\circ + 110^\circ + x + 140^\circ = 360^\circ \Rightarrow x = 60^\circ

Alternativa D.

Pegadinha: O ângulo de 220° marcado em O é o arco externo; o ângulo interno do quadrilátero usa 140°, e usar 220° direto na soma dá um resultado absurdo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de erro na soma dos ângulos internos, sem usar o ângulo inscrito em B.
  • BValor sem justificativa, obtido de conta incompleta com os ângulos de 50° e 220°.
  • CAparece ao confundir o ângulo central com o arco ou ao esquecer o ângulo em B.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: EEAR 2018 · CFS 2. Prova oficial ↗