PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 59 (CFS 2) da EEAR 2018

CFS 2 · Matemática: Esfera

– Uma esfera E foi dividida em 3 partes: A, B e C, como mostra o desenho. Se os volumes dessas partes são tais que: \text{V(A)} = \text{V(B)} = \dfrac{\text{V(C)}}{2} e \text{V(C)} = 486\pi\ \text{cm}^3, então o raio da esfera é _____ cm.

Ilustração mostrando uma esfera inteira identificada pela letra E e as três partes em que foi dividida: duas calotas esféricas, A e B, e um segmento esférico central de duas bases, C.

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. C
    10
  4. D
    12
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Resolução comentada

O volume da esfera é a soma das três partes: V(E)=V(A)+V(B)+V(C).

Como V(C)=486\pi e V(A)=V(B)=\dfrac{V(C)}{2}, temos:

  1. V(A)=V(B)=\dfrac{486\pi}{2}=243\pi\ \text{cm}^3
  2. V(E)=243\pi+243\pi+486\pi=972\pi\ \text{cm}^3

A fórmula do volume da esfera é V=\dfrac{4}{3}\pi R^3. Igualando:

\dfrac{4}{3}\pi R^3=972\pi
  1. Cancelando \pi e multiplicando por \dfrac{3}{4}: R^3=972\cdot\dfrac{3}{4}=243\cdot 3=729
  2. Como 9^3=729, então R=9\ \text{cm}.

Não é preciso conhecer as fórmulas de calota e segmento esférico: basta somar os volumes, pois as três partes juntas formam a esfera inteira.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A8^3=512 não é 729; o valor não satisfaz \frac{4}{3}\pi R^3=972\pi.
  • C10^3=1000 não é 729; resultaria em volume maior que 972\pi.
  • D12^3=1728 é grande demais; vem de esquecer o fator \frac{4}{3} ou errar a conta de R^3.

Assunto: Esfera.

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Fonte: EEAR 2018 · CFS 2. Prova oficial ↗