PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 (CFS 1) da EEAR 2018

CFS 1 · Matemática: Matrizes e determinantes

– Se A = \begin{pmatrix} 0 & x & y \\ x & 0 & 2 \\ y & 2 & 0 \end{pmatrix} e \det A = 4\sqrt{3} , então x^2\ y^2 é igual a

  1. A
    24
  2. B
    12
  3. C
    6
  4. D
    3
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Resolução comentada

Para uma matriz 3\times3, usamos a regra de Sarrus (ou Laplace) para calcular o determinante.

  1. Expandindo pela primeira linha:
\det A = 0\cdot(0-4) - x\,(x\cdot 0 - 2y) + y\,(2x - 0\cdot y)

  1. Calculando cada termo: -x(-2y) = 2xy e y\cdot 2x = 2xy.

  2. Somando:

\det A = 2xy + 2xy = 4xy
  1. Igualando ao valor dado:
4xy = 4\sqrt{3} \Rightarrow xy = \sqrt{3}
  1. O que se pede é x^2y^2 = (xy)^2:
x^2y^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

Conferindo por Sarrus: os produtos das diagonais principais são 0\cdot0\cdot0 + x\cdot2\cdot y + y\cdot x\cdot2 = 4xy, e os das secundárias são y\cdot0\cdot y + 0\cdot2\cdot2 + x\cdot x\cdot0 = 0. Logo \det A = 4xy, o que confirma o resultado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o cálculo; pode vir de multiplicar 4·√3·... em vez de elevar xy ao quadrado.
  • BResulta de usar xy=2\sqrt{3}, ao erro de dividir o determinante por 2 em vez de 4.
  • CVem de xy=\sqrt{6} ou de errar o quadrado, não corresponde ao determinante 4xy.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: EEAR 2018 · CFS 1. Prova oficial ↗