Questão 63 da EEAR 2017

Um polígono de n lados tem n vértices. Cada vértice se liga por diagonal a todos os outros, exceto ele mesmo e os dois vizinhos, ou seja, a n-3 vértices. Como cada diagonal é contada duas vezes (uma em cada extremidade), o número de diagonais é:

O dodecágono tem 12 lados, então n=12.

1. Diagonais: d=\dfrac{12\cdot(12-3)}{2}=\dfrac{12\cdot 9}{2}=\dfrac{108}{2}=54.
2. Lados: 12.
3. Soma: 54+12=66.

Conferindo por outro caminho: o total de segmentos ligando 2 dos 12 vértices é \binom{12}{2}=\dfrac{12\cdot 11}{2}=66. Esses segmentos são justamente os lados mais as diagonais, o que confirma o resultado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem relação com a conta; não corresponde a 54+12 nem a nenhum erro típico da fórmula.
• CResulta de erro de cálculo na fórmula das diagonais (por exemplo, n(n-3)/2 com conta incorreta); o correto é 54 diagonais.
• DTambém não vem de 54+12; é fruto de erro na fórmula das diagonais.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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