Questão 65 da EEAR 2013

Usamos a relação fundamental da trigonometria, que vale para qualquer arco: \sen^2 x + \cos^2 x = 1.

1. Substituindo \sen x = -\frac{1}{3}: \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1.
2. Calculando o quadrado: \frac{1}{9} + \cos^2 x = 1.
3. Isolando: \cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.
4. Tirando a raiz: \cos x = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}, pois \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

A raiz quadrada deixa dois sinais possíveis, e quem decide é o quadrante. No 3º quadrante, seno e cosseno são ambos negativos (o seno negativo do enunciado confirma isso). Logo:

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece de aplicar o sinal do 3º quadrante, onde o cosseno é negativo, depois de tirar a raiz.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BErra a simplificação de \sqrt{8}, escrevendo \sqrt{2} em vez de 2\sqrt{2}.
• CValor correto em módulo, mas com sinal positivo, que seria de cosseno no 1º ou 4º quadrante.
• DErra a simplificação do radical e também o sinal do cosseno no 3º quadrante.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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