Questão 60 (CFS 2) da EEAR 2010

Para calcular \cos 15^\circ, escreva 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ e use a fórmula do cosseno da diferença:

1. Valores conhecidos: \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, \sen 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \sen 30^\circ=\frac12.

2. Substituindo:
   

   \cos 15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

3. As alternativas trazem raízes aninhadas, então vamos comparar elevando ao quadrado:
   

   \left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right)^2=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}=\frac{8+4\sqrt3}{16}=\frac{2+\sqrt3}{4}

4. Logo:
   

   \cos 15^\circ=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}

Conferindo pelo arco metade: \cos 15^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{4}}, o mesmo resultado. Numericamente, \cos15^\circ\approx0{,}966 e \frac{\sqrt{3{,}732}}{2}\approx0{,}966.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2} é \sen 22{,}5^\circ (ou \cos 67{,}5^\circ), não \cos15^\circ; vale cerca de 0{,}38.
• C2-\sqrt2\approx0{,}59 não corresponde a \cos15^\circ\approx0{,}966.
• D2+\sqrt3\approx3{,}73 é maior que 1, impossível para um cosseno; esqueceu a raiz e o denominador 2.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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