Questão 75 (CFS 1) da EEAR 2009

Como a + b = 90^\circ, podemos escrever a = 90^\circ - b. Então:

1. a - b = 90^\circ - b - b = 90^\circ - 2b.

2. Logo, \cos(a - b) = \cos(90^\circ - 2b).

Agora usamos a relação entre arcos complementares: \cos(90^\circ - x) = \sen x. Isso vale porque o cosseno de um arco é o seno do seu complementar.

3. Com x = 2b: \cos(90^\circ - 2b) = \sen 2b.

Conferindo com um exemplo: se b = 30^\circ, então a = 60^\circ e \cos(a - b) = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Por outro lado, \sen 2b = \sen 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Confere. Já \cos 2b = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}, que é diferente.

Portanto \cos(a - b) = \sen 2b.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Btroca seno por cosseno: \cos(90^\circ - 2b) é \sen 2b, não \cos 2b (com b=30^\circ daria 1/2 em vez de \sqrt{3}/2).
• Cdivide por 2 sem motivo; não há fator 1/2 na identidade de arcos complementares.
• Dcombina os dois erros: usa cosseno e divide por 2.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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