PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 74 (CFS 2) da EEAR 2009
– Se x e y são arcos do 1º quadrante, \text{sen } x = \frac{\sqrt{3}}{2} e \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}, então o valor de \cos(x + y) é igual a
- A\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}.
- B\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{4}.
- C\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}.
- D\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{2}.
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Resolução comentada
Use a fórmula do cosseno da soma:
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sen x\,\sen y
Faltam \cos x e \sen y. Como os arcos estão no 1º quadrante, seno e cosseno são positivos.
- Para x: \cos^2 x = 1-\sen^2 x = 1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}, então \cos x=\frac{1}{2} (de fato x=60^\circ).
- Para y: \sen^2 y = 1-\cos^2 y = 1-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, então \sen y=\frac{\sqrt{2}}{2} (de fato y=45^\circ).
Substituindo:
\cos(x+y)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
Conferência: \cos 105^\circ é negativo, e \sqrt{2}-\sqrt{6}<0. Confere.
Alternativa C.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ASoma os termos em vez de subtrair e erra os denominadores, ignorando a fórmula correta do cosseno da soma.
- BResultado sem relação com a fórmula; mistura \sqrt{3} com \sqrt{6} e usa sinal positivo, que daria cosseno positivo para 105^\circ.
- DDenominador 2 e termo \sqrt{3} não aparecem no cálculo; os produtos têm denominador 4 e numeradores \sqrt{2} e \sqrt{6}.
Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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Fonte: EEAR 2009 · CFS 2. Prova oficial ↗