Questão 51 (CFS 2) da EEAR 2009

Se A^{-1} é a inversa de A, então A\cdot A^{-1}=I_2, em que I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. Basta igualar um elemento do produto ao elemento correspondente de I_2 e achar x.

Cada elemento do produto é a linha de A multiplicada pela coluna de A^{-1}.

1. Elemento da linha 2, coluna 2: linha 2 de A é (1\ \ 2) e coluna 2 de A^{-1} é (-1\ \ x).
2. Produto: 1\cdot(-1)+2\cdot x=-1+2x.
3. Esse elemento deve ser igual a 1 (diagonal de I_2): -1+2x=1, logo 2x=2 e x=1.

Conferindo com outro elemento: linha 1, coluna 2 dá 1\cdot(-1)+1\cdot x=-1+x, que deve ser 0, portanto x=1. Os dois resultados coincidem.

Conferindo por determinante: \det A=1\cdot2-1\cdot1=1, então A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}, e o elemento x é 1.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AResulta de erro de conta, como -1+2x=1 resolvido com x=3; não satisfaz nenhuma equação do produto.
• BConfunde com o elemento 2 da matriz: x=2 daria -1+4=3\neq1 na posição (2,2).
• DCom x=0 o elemento (2,2) seria -1, e não 1.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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