Dizemos que uma função não-constante é periódica se existe tal que para todo número x real. a) A função é periódica? Justifique. b) A função é periódica? Justifique.

Questão 7 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2026

2º dia · Matemática

Dizemos que uma função não-constante f(x) é periódica se existe T > 0 tal que f(x) = f(x + T) para todo número x real.

a) A função h(x) = \cos(5x) + \sen(x/7) é periódica? Justifique.

b) A função p(x) = x^2 - 1 é periódica? Justifique.

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a) A função é periódica. Note que ela é soma de duas funções, f(x) = cos\text{ }(5x) que é uma função periódica de período 2\pi/5, e g(x) = sin\text{ }(x/7), que é uma função periódica de período 14\pi.

Podemos procurar um T tal que h(x) = h(x + T).

cos\text{ }(5(x + T)) = cos\text{ }(5x + 5T) = cos\text{ }(5x)\text{ }cos\text{ }(5T) - sin\text{ }(5x)\text{ }sin\text{ }(5T)

sin\text{ }((x + T)/7) = cos\text{ }(x/7)\text{ }sin\text{ }(T/7) + cos\text{ }(T/7)\text{ }sin\text{ }(x/7)

Para que h(x + T) = h(x), uma possibilidade é termos

cos\text{ }(5x + 5T) = cos\text{ }(5x)\text{ }cos\text{ }(5T) - sin\text{ }(5x)\text{ }sin\text{ }(5T) = cos\text{ }(5x)

cos\text{ }(x/7)\text{ }sin\text{ }(T/7) + cos\text{ }(T/7)\text{ }sin\text{ }(x/7) = sin\text{ }(x/7)

Portanto, devemos ter cos\text{ }(T/7) = 1 e sin\text{ }(T/7) = 0, bem como cos\text{ }(5T) = 1 e sin\text{ }(5T) = 0.

Analisando estas equações, obtemos que uma possibilidade é se o período for T = 14\pi, pois

h(x + 14\pi) = cos\text{ }(5x + 70\pi) + sin\text{ }(x/7 + 2\pi) = cos\text{ }(5x) + sin\text{ }(x/7) = h(x).

Portanto, existe T > 0 tal que h(x) = h(x + T) para todo número real x.

b) A função não é periódica. Note que p(0) = -1 e p(0 + T) = T^2 - 1. Para que estes valores sejam iguais, devemos ter -1 = T^2 - 1, ou seja, T = 0. Como o período precisa ser positivo, a função não é periódica.

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