Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2026

2º dia · Matemática

Na arquitetura, uma “oval” é uma figura formada por dois pares de arcos de circunferência com raios distintos. Esses arcos se conectam nos pontos de tangência entre as circunferências.

(Adaptado de Oval. Wikipedia)

Esquema geométrico sobreposto à imagem de satélite da Praça de São Pedro (à esquerda) e isolado (à direita), composto por duas circunferências menores de centros D e B e duas circunferências maiores de centros A e C com linha tracejada preta, delimitando uma forma oval fechada em vermelho constituída por quatro arcos com pontos de junção destacados por pequenos quadrados.

(Imagem adaptada de Google Maps. Acesso em 08/09/2025.)

A Praça de São Pedro, no Vaticano, concebida pelo renomado artista italiano Gian Lorenzo Bernini, é um exemplo notável do uso desse formato na arquitetura. As duas circunferências menores têm o mesmo raio, e o mesmo acontece com as duas circunferências maiores. Os centros das duas circunferências menores (pontos B e D) estão situados nos chamados “centro del colonnato”, distam 65 metros um do outro e o centro de uma circunferência está contido na outra circunferência, e vice-versa. Os centros das circunferências maiores (pontos A e C), por sua vez, estão posicionados nas interseções das circunferências menores, conforme ilustrado na imagem. Os centros das quatro circunferências formam um losango ABCD.

a) Calcule a área do losango ABCD.

b) Calcule o perímetro da oval (curva em vermelho na imagem).

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a) As circunferências menores têm centros B e D, e o centro de cada uma está sobre a outra. Logo o raio delas é r = BD = 65\ \text{m}.\n\nA e C são as interseções dessas circunferências. Então AB = AD = CB = CD = 65\ \text{m}, e os triângulos ABD e CBD são equiláteros de lado 65. Assim, ABCD é um losango de lado 65, com \hat A=\hat C=60^\circ e \hat B=\hat D=120^\circ.\n\nA diagonal menor é BD = 65. A diagonal maior AC é o dobro da altura do triângulo equilátero:\n\n

AC = 2\cdot\frac{65\sqrt3}{2} = 65\sqrt3\ \text{m}
\n\nÁrea do losango:\n\n
S=\frac{BD\cdot AC}{2}=\frac{65\cdot 65\sqrt3}{2}=\frac{4225\sqrt3}{2}\ \text{m}^2\approx 3\,659\ \text{m}^2
\n\nÁrea =\dfrac{4225\sqrt3}{2}\ \text{m}^2 \approx 3\,659\ \text{m}^2.\n\nb) Na oval, o arco de cima é da circunferência de centro D e o de baixo é da circunferência de centro B, ambas de raio 65. Os arcos laterais são das circunferências maiores, de centros C (arco da esquerda) e A (arco da direita).\n\nOs arcos se encontram nos pontos de tangência, que ficam sobre a reta dos centros. O ponto de junção do arco de centro D com o de centro C está na semirreta CD, além de D. Ele dista 65 de D e R de C, então:\n\n
R = CD + 65 = 65+65 = 130\ \text{m}
\n\nArcos menores (raio 65). O arco de centro D é limitado pelos prolongamentos de CD e AD além de D. Seu ângulo central é o ângulo oposto pelo vértice a \hat{ADC}=120^\circ. Logo cada arco menor mede 120^\circ, e os dois somam 240^\circ:\n\n
\frac{240}{360}\cdot 2\pi\cdot 65=\frac{260\pi}{3}
\n\nArcos maiores (raio 130). O arco de centro C vai da semirreta CD até a semirreta CB. Seu ângulo central é \hat{DCB}=60^\circ. Os dois arcos maiores somam 120^\circ:\n\n
\frac{120}{360}\cdot 2\pi\cdot 130=\frac{260\pi}{3}
\n\nPerímetro:\n\n
P=\frac{260\pi}{3}+\frac{260\pi}{3}=\frac{520\pi}{3}\ \text{m}\approx 544\ \text{m}
\n\nPerímetro =\dfrac{520\pi}{3}\ \text{m}\approx 544\ \text{m}.

Assuntos: geometria plana, área do losango, comprimento de arcos de circunferência.

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