Questão 6 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2024

Question

Na figura abaixo, ABCD representa um terreno quadrado cujos lados medem 10m, coberto por grama alta. O ponto E é o ponto médio do lado AD; o segmento EF, paralelo ao lado DC, representa um muro de 5m de comprimento e bem alto, sendo, portanto, intransponível.

Quadrado ABCD com o ponto E no ponto médio de AD e um segmento horizontal EF representando o muro. Uma linha curva sai do vértice A e contorna a extremidade F do muro.

Um cortador de grama robótico será usado para cortar a grama do terreno. Ele será ligado na energia no ponto A e seu cabo de energia tem comprimento de 10m. Para funcionar, ele tem que estar ligado todo o tempo na tomada.

a) Ao usar o aparelho para cortar a grama do terreno, uma pessoa tenta se aproximar, ao máximo, do lado CD. Nessa situação, calcule a distância que falta para o cortador de grama alcançar o lado CD. Justifique.

b) O robô não conseguirá cortar a grama do terreno todo, já que seu fio é curto e o muro é um obstáculo. Qual a maior área do terreno que o robô conseguirá cortar a grama?

Answer 1

Questão 6 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2024

2º dia · Matemática

Na figura abaixo, ABCD representa um terreno quadrado cujos lados medem 10m, coberto por grama alta. O ponto E é o ponto médio do lado AD; o segmento EF, paralelo ao lado DC, representa um muro de 5m de comprimento e bem alto, sendo, portanto, intransponível.

Quadrado ABCD com o ponto E no ponto médio de AD e um segmento horizontal EF representando o muro. Uma linha curva sai do vértice A e contorna a extremidade F do muro.

Um cortador de grama robótico será usado para cortar a grama do terreno. Ele será ligado na energia no ponto A e seu cabo de energia tem comprimento de 10m. Para funcionar, ele tem que estar ligado todo o tempo na tomada.

a) Ao usar o aparelho para cortar a grama do terreno, uma pessoa tenta se aproximar, ao máximo, do lado CD. Nessa situação, calcule a distância que falta para o cortador de grama alcançar o lado CD. Justifique.

b) O robô não conseguirá cortar a grama do terreno todo, já que seu fio é curto e o muro é um obstáculo. Qual a maior área do terreno que o robô conseguirá cortar a grama?

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a) A situação descrita, se aproximar o máximo possível do lado CD, pode ser obtida como na figura abaixo, em que o segmento vermelho representa o cabo esticado do cortador de grama.

[Figura: Quadrado ABCD com segmento horizontal EF ligando o ponto médio E do lado AD ao centro F. Um trajeto vermelho parte de A em linha reta até F e desce verticalmente em direção ao lado CD.]

A distância de A até F pode ser calculada com o Teorema de Pitágoras: ela é o comprimento L da hipotenusa do triângulo retângulo AEF, que mede

L = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}.

A distância de F até o final do fio pode ser calculada pela subtração 10 - L = 10 - 5\sqrt{2}.

Finalmente, como a distância de F até o lado CD é 5, a distância que falta para o cortador de grama chegar até o lado CD é 5 - (10 - 5\sqrt{2}) = 5(\sqrt{2} - 1) metros.

b) A região total atingida pelo robô é composta de três sub-regiões, como indicado na figura a seguir:

[Figura: Quadrado ABCD dividido em três regiões coloridas: a região triangular AEF em azul claro, um setor circular de raio 10 centrado em A em amarelo claro, e um setor circular centrado em F em verde claro.]

Vamos chamar a área em azul de A1, a área em amarelo de A2, e a área em verde de A3.

A região A1 é um triângulo com base 5 e altura 5. Portanto, a área em azul mede

A1 = 5 \cdot \frac{5}{2} = 25/2.

A região A2 consiste em 1/8 de um círculo de raio 10. Portanto, sua área é

A2 = \pi \cdot 10^2 / 8 = 25\pi/2.

A região A3 consiste em 1/4+1/8=3/8 de uma circunferência de raio 10 - 5\sqrt{2}, ou seja,

A3 = \pi(10 - 5\sqrt{2})^2 \cdot \left(\frac{3}{8}\right).

Somando tudo, obtemos \frac{25}{2} + \frac{25\pi}{2} + \pi(10 - 5\sqrt{2})^2 \cdot \left(\frac{3}{8}\right)\ m^2.

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Resolução comentada

Coloque A=(0,10), B=(10,10), D=(0,0) e C=(10,0). Então E=(0,5) e F=(5,5). O cabo tem 10 m e está preso em A.

a)

Para passar do lado do muro, o cabo precisa contornar o ponto F. O trecho AF é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos 5 m:

AF=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2\ \text{m}\approx 7{,}07\ \text{m}

Sobra de cabo depois de F:

r=10-5\sqrt2\approx 2{,}93\ \text{m}

Depois de F, o robô se move em uma circunferência de raio r com centro em F. O ponto mais próximo de CD é o que está diretamente abaixo de F, a r metros dele. Esse ponto está na região atrás do muro, logo é alcançável.

Como F está a 5 m de CD, a distância que falta é:

5-r=5-(10-5\sqrt2)=5\sqrt2-5

Sem contornar o muro, o ponto mais baixo seria y=10-10\,\text{sen}\,45^\circ\approx 2{,}93 m de CD, o que é pior. Contornar F é o melhor caminho.

Distância que falta: 5(\sqrt2-1)\ \text{m}\approx 2{,}07\ \text{m}.

b)

A região cortada tem duas partes.

Região vista diretamente de A. É a parte do quarto de círculo de raio 10 centrado em A (área 25\pi) que o muro não esconde. A parte escondida fica entre a reta AF (que faz 45^\circ com AD) e o lado AD, abaixo do muro. Ela é o setor de 45^\circ menos o triângulo AEF:

\frac{100\pi}{8}-\frac{5\cdot5}{2}=12{,}5\pi-12{,}5

Área visível:

25\pi-(12{,}5\pi-12{,}5)=12{,}5\pi+12{,}5

Região atrás do muro. Ela é um setor de centro F e raio r=10-5\sqrt2. O ângulo vai da reta AF prolongada até o muro (sentido FE), ou seja, 135^\circ=\frac38 da circunferência. O setor cabe no terreno, pois r<5.

r^2=150-100\sqrt2

A_2=\frac38\pi(150-100\sqrt2)=\frac{75\pi}{4}(3-2\sqrt2)\approx 10{,}1\ \text{m}^2

Somando as duas partes:

A=12{,}5\pi+12{,}5+\frac{75\pi}{4}(3-2\sqrt2)=\frac{25}{2}+\frac{275\pi}{4}-\frac{75\sqrt2\,\pi}{2}

Área máxima: \dfrac{25}{2}+\dfrac{275\pi}{4}-\dfrac{75\sqrt2\,\pi}{2}\ \text{m}^2\approx 61{,}9\ \text{m}^2.

Assuntos: geometria plana, área de setores circulares.

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Questão 6 no caderno CB da 2ª fase da UNICAMP 2024

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