Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2024
Considere a função y = f(x) = k \cdot x^2 + b \cdot x + 4.
a) Para k = -1, determine o(s) valor(es) de b para os quais o gráfico de y = f(x) é simétrico com respeito ao eixo y. Para este(s) valor(es) de b, resolva f(x) = 0.
b) Agora, para k = 1 e b = -3, determine a distância entre o vértice da parábola y = f(x) e a origem (0,0).
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Resolução comentada
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a) Com k=-1, temos f(x)=-x^2+bx+4. O gráfico de uma parábola só é simétrico em relação ao eixo y quando o eixo de simetria da parábola é a reta x=0, ou seja, quando o vértice está sobre o eixo y.
O eixo de simetria é x=-\frac{b}{2a}. Aqui a=-1, então:
Impondo x_v=0, obtemos b=0. Outra forma de ver: simetria em relação ao eixo y significa f(x)=f(-x), e isso elimina o termo ímpar bx.
Para b=0, f(x)=-x^2+4. Resolvendo f(x)=0:
Resposta: b=0 é o único valor, e as raízes de f(x)=0 são x=-2 e x=2.
b) Com k=1 e b=-3, f(x)=x^2-3x+4. As coordenadas do vértice são:
- x_v=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}
- y_v=f\left(\frac32\right)=\frac94-\frac92+4=\frac{9-18+16}{4}=\frac74
Confirmando com o discriminante: \Delta=9-16=-7, então y_v=-\frac{\Delta}{4a}=\frac74. Confere.
O vértice é V\left(\frac32,\frac74\right). A distância até a origem é:
Resposta: d=\dfrac{\sqrt{85}}{4}\approx 2{,}3.
Assuntos: função quadrática, vértice da parábola, distância entre pontos.
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