Questão 11 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2018

Question

Geradores de Van de Graaff têm a finalidade de produzir altas diferenças de potencial. Consistem em uma esfera metálica onde é acumulada a carga proveniente de uma correia em movimento. A carga é inicialmente depositada na parte inferior da correia, que está aterrada (potencial V = 0, ver figura), e é extraída da correia quando atinge a parte superior, que está no potencial V_0, fluindo para a esfera metálica. O movimento da correia é mantido por um pequeno motor.

Esquema ilustrativo de um gerador de Van de Graaff, mostrando a correia que transporta cargas positivas da base aterrada (V = 0) até a esfera metálica no topo (V = V₀).

a) Em um gerador em operação, a carga transportada por unidade de comprimento da correia é igual a \lambda = 1{,}25 \times 10^{-7}\text{ C/m}. Se a taxa com que essa carga é transferida para a esfera metálica é dada por i = 5{,}0 \times 10^{-9}\text{ C/s}, qual é a velocidade da correia?

b) Um fenômeno muito atraente que ocorre em pequenos geradores usados em feiras de ciências é a produção de faísca, decorrente de uma descarga elétrica, quando um bastão metálico aterrado é aproximado da esfera carregada do gerador. A descarga elétrica ocorre quando o módulo do campo elétrico na região entre a esfera e o bastão torna-se maior que a rigidez dielétrica do ar, que vale E_{\text{rd}} = 3{,}0 \times 10^6\text{ V/m}. Para simplificar, considere que a esfera de um gerador e a extremidade do bastão equivalem a duas placas metálicas paralelas com uma diferença de potencial de V = 7{,}5 \times 10^4\text{ V}. Calcule a distância entre elas para que a descarga ocorra.

Answer 1

Questão 11 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2018

3º dia · Física

Geradores de Van de Graaff têm a finalidade de produzir altas diferenças de potencial. Consistem em uma esfera metálica onde é acumulada a carga proveniente de uma correia em movimento. A carga é inicialmente depositada na parte inferior da correia, que está aterrada (potencial V = 0, ver figura), e é extraída da correia quando atinge a parte superior, que está no potencial V_0, fluindo para a esfera metálica. O movimento da correia é mantido por um pequeno motor.

Esquema ilustrativo de um gerador de Van de Graaff, mostrando a correia que transporta cargas positivas da base aterrada (V = 0) até a esfera metálica no topo (V = V₀).

a) Em um gerador em operação, a carga transportada por unidade de comprimento da correia é igual a \lambda = 1{,}25 \times 10^{-7}\text{ C/m}. Se a taxa com que essa carga é transferida para a esfera metálica é dada por i = 5{,}0 \times 10^{-9}\text{ C/s}, qual é a velocidade da correia?

b) Um fenômeno muito atraente que ocorre em pequenos geradores usados em feiras de ciências é a produção de faísca, decorrente de uma descarga elétrica, quando um bastão metálico aterrado é aproximado da esfera carregada do gerador. A descarga elétrica ocorre quando o módulo do campo elétrico na região entre a esfera e o bastão torna-se maior que a rigidez dielétrica do ar, que vale E_{\text{rd}} = 3{,}0 \times 10^6\text{ V/m}. Para simplificar, considere que a esfera de um gerador e a extremidade do bastão equivalem a duas placas metálicas paralelas com uma diferença de potencial de V = 7{,}5 \times 10^4\text{ V}. Calcule a distância entre elas para que a descarga ocorra.

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Resolução comentada

a) A corrente que chega à esfera é a carga transferida por unidade de tempo. Se a correia anda com velocidade v, em um intervalo \Delta t passa pelo ponto de extração um comprimento v\,\Delta t de correia. Esse trecho carrega \Delta q = \lambda\, v\, \Delta t. Logo:

i = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \lambda v \;\Rightarrow\; v = \frac{i}{\lambda}

Substituindo:

v = \frac{5{,}0\times 10^{-9}}{1{,}25\times 10^{-7}} = 4{,}0\times 10^{-2}\ \text{m/s}

A velocidade da correia é v = 4{,}0\times 10^{-2}\ \text{m/s} (4 cm/s).

b) Entre duas placas paralelas o campo elétrico é uniforme e vale E = V/d. A descarga ocorre quando E passa a rigidez dielétrica do ar:

\frac{V}{d} > E_{\text{rd}} \;\Rightarrow\; d < \frac{V}{E_{\text{rd}}}

A distância máxima para a descarga é:

d = \frac{7{,}5\times 10^{4}}{3{,}0\times 10^{6}} = 2{,}5\times 10^{-2}\ \text{m}

Portanto, a descarga ocorre quando a distância é menor que esse valor.

A descarga ocorre para d < 2{,}5\times 10^{-2}\ \text{m} (2,5 cm).

Assuntos: corrente elétrica, campo elétrico uniforme, rigidez dielétrica.

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Questão 11 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2018