Questão 17 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

Question

Um instrumento importante no estudo de sistemas nanométricos é o microscópio eletrônico. Nos microscópios ópticos, a luz é usada para visualizar a amostra em estudo. Nos microscópios eletrônicos, um feixe de elétrons é usado para estudar a amostra.

a) A vantagem em se usar elétrons é que é possível acelerá-los até energias em que o seu comprimento de onda é menor que o da luz visível, permitindo uma melhor resolução. O comprimento de onda do elétron é dado por \lambda = h/(2m_eE_c)^{1/2}, em que E_c é a energia cinética do elétron, m_e \sim 9 \times 10^{-31}\text{ kg} é a massa do elétron e h \sim 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ N}\cdot\text{m}\cdot\text{s} é a constante de Planck. Qual é o comprimento de onda do elétron em um microscópio eletrônico em que os elétrons são acelerados, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de U = 50\text{ kV}? Caso necessário, use a carga do elétron e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}.

b) Uma forma usada para gerar elétrons em um microscópio eletrônico é aquecer um filamento, processo denominado efeito termiônico. A densidade de corrente gerada é dada por J = AT^2e^{(-\Phi/(k_BT))}, em que A é a constante de Richardson, T é a temperatura em kelvin, k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K} é a constante de Boltzmann e \Phi, denominado função trabalho, é a energia necessária para remover um elétron do filamento. A expressão para J pode ser reescrita como ln(J/T^2) = ln(A) - (\Phi/k_B)(1/T), que é uma equação de uma reta de ln(J/T^2) versus (1/T), em que ln(A) é o coeficiente linear e (\Phi/k_B) é o coeficiente angular da reta. O gráfico da figura abaixo apresenta dados obtidos do efeito termiônico em um filamento de tungstênio. Qual é a função trabalho do tungstênio medida neste experimento?

Answer 1

Questão 17 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

2º dia · Física

Um instrumento importante no estudo de sistemas nanométricos é o microscópio eletrônico. Nos microscópios ópticos, a luz é usada para visualizar a amostra em estudo. Nos microscópios eletrônicos, um feixe de elétrons é usado para estudar a amostra.

a) A vantagem em se usar elétrons é que é possível acelerá-los até energias em que o seu comprimento de onda é menor que o da luz visível, permitindo uma melhor resolução. O comprimento de onda do elétron é dado por \lambda = h/(2m_eE_c)^{1/2}, em que E_c é a energia cinética do elétron, m_e \sim 9 \times 10^{-31}\text{ kg} é a massa do elétron e h \sim 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ N}\cdot\text{m}\cdot\text{s} é a constante de Planck. Qual é o comprimento de onda do elétron em um microscópio eletrônico em que os elétrons são acelerados, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de U = 50\text{ kV}? Caso necessário, use a carga do elétron e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}.

b) Uma forma usada para gerar elétrons em um microscópio eletrônico é aquecer um filamento, processo denominado efeito termiônico. A densidade de corrente gerada é dada por J = AT^2e^{(-\Phi/(k_BT))}, em que A é a constante de Richardson, T é a temperatura em kelvin, k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K} é a constante de Boltzmann e \Phi, denominado função trabalho, é a energia necessária para remover um elétron do filamento. A expressão para J pode ser reescrita como ln(J/T^2) = ln(A) - (\Phi/k_B)(1/T), que é uma equação de uma reta de ln(J/T^2) versus (1/T), em que ln(A) é o coeficiente linear e (\Phi/k_B) é o coeficiente angular da reta. O gráfico da figura abaixo apresenta dados obtidos do efeito termiônico em um filamento de tungstênio. Qual é a função trabalho do tungstênio medida neste experimento?

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Resolução comentada

a) Os elétrons partem do repouso e são acelerados pela ddp U. Todo o trabalho da força elétrica vira energia cinética:

E_c = eU = 1{,}6\times10^{-19}\cdot 5\times10^{4} = 8\times10^{-15}\ \text{J}

Substituindo em \lambda = h/\sqrt{2m_eE_c}:

2m_eE_c = 2\cdot 9\times10^{-31}\cdot 8\times10^{-15} = 1{,}44\times10^{-44}
\sqrt{1{,}44\times10^{-44}} = 1{,}2\times10^{-22}
\lambda = \dfrac{6{,}6\times10^{-34}}{1{,}2\times10^{-22}} = 5{,}5\times10^{-12}\ \text{m}

Esse valor é bem menor que o da luz visível, que fica em torno de 5\times10^{-7}\ \text{m}.

\lambda \approx 5{,}5\times10^{-12}\ \text{m}

b) A figura não veio no texto, então a leitura do gráfico abaixo é uma estimativa minha e deve ser conferida com a figura original. O método é o que vale.

O gráfico de \ln(J/T^2) contra 1/T é uma reta de coeficiente angular -\Phi/k_B. O módulo da inclinação é, portanto, \Phi/k_B.

Calcula-se a inclinação com dois pontos bem separados sobre a reta:

\left|\frac{\Delta \ln(J/T^2)}{\Delta(1/T)}\right| = \frac{\Phi}{k_B}

Na leitura que fiz, a inclinação vale cerca de 5\times10^{4}\ \text{K}. Então:

\Phi = 5\times10^{4}\cdot 1{,}4\times10^{-23} = 7\times10^{-19}\ \text{J}

Em elétron-volts, \Phi \approx 4{,}4\ \text{eV}, que é compatível com o valor conhecido para o tungstênio, cerca de 4{,}5\ \text{eV}.

\Phi = k_B\cdot|\text{inclinação}| \approx 7\times10^{-19}\ \text{J} (≈ 4,4 eV), com a inclinação lida do gráfico

Assuntos: física moderna, energia cinética e ddp, análise de gráficos.

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