Questão 17 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

Question

Sabendo que m é um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:

\begin{cases} mx + 2z = 4, \\ x - y + z = 3, \\ 2x + mz = 4. \end{cases}

a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A^2 = A \cdot A.

b) Para m = 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto xyz é mínimo.

Answer 1

Questão 17 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

3º dia · Matemática

Sabendo que m é um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:

\begin{cases} mx + 2z = 4, \\ x - y + z = 3, \\ 2x + mz = 4. \end{cases}

a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A^2 = A \cdot A.

b) Para m = 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto xyz é mínimo.

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Resposta esperada pela FUVEST

a)
A matriz dos coeficientes do sistema linear é dada por A = \begin{pmatrix} m & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & m \end{pmatrix}. A soma dos quadrados dos elementos da matriz A é igual a S_1 = m^2 + 0^2 + 2^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 0^2 + m^2 = 2m^2 + 11. Então,

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} m & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & m \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} m & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2 + 4 & 0 & 4m \\ m + 1 & 1 & m + 1 \\ 4m & 0 & m^2 + 4 \end{pmatrix}.

A soma dos elementos de A^2 é, então, S_2 = m^2 + 4 + 0 + 4m + m + 1 + 1 + m + 1 + 4m + 0 + m^2 + 4 = 2m^2 + 10m + 11. Para que S_1 = S_2, devemos ter 2m^2 + 11 = 2m^2 + 10m + 11, ou seja, m = 0.

b)
Para m = 2, temos o sistema linear

\begin{cases} 2x + 2z = 4, \\ x - y + z = 3, \\ 2x + 2z = 4. \end{cases}

Note que a primeira e a terceira equações são iguais. Da primeira equação, podemos escrever z = 2 - x. Substituindo na segunda equação, concluímos que y = -1. Assim, esse sistema tem infinitas soluções: para qualquer número real a, x = a, y = -1 e z = 2 - a é uma solução. Temos então que o produto das variáveis em qualquer solução é dado por xyz = a \cdot (-1) \cdot (2 - a) = a^2 - 2a = (a - 1)^2 - 1. Esse produto é uma função quadrática na variável a, cujo coeficiente quadrático é positivo. O gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, cujo vértice fornece o valor mínimo do produto. O vértice dessa parábola tem abscissa em a = 1. Portanto, a solução procurada é x = a = 1, y = -1 e z = 2 - a = 1.

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Resolução comentada

a) A matriz dos coeficientes é

A=\begin{pmatrix} m & 0 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ 2 & 0 & m\end{pmatrix}.

Soma dos quadrados dos elementos: m^2+0+4+1+1+1+4+0+m^2 = 2m^2+11.

Calculando A^2=A\cdot A, linha por linha:

Linha 1: (m^2+4,\ 0,\ 4m), com soma m^2+4m+4.
Linha 2: (m+1,\ 1,\ m+1), com soma 2m+3.
Linha 3: (4m,\ 0,\ m^2+4), com soma m^2+4m+4.

Soma dos elementos de A^2: 2m^2+12m+11.

Igualando as duas somas:

2m^2+11=2m^2+12m+11 \Rightarrow 12m=0 \Rightarrow m=0.

m = 0

b) Com m=2, o sistema fica

\begin{cases}2x+2z=4\\ x-y+z=3\\ 2x+2z=4\end{cases}

A primeira e a terceira equações são iguais, e ambas equivalem a x+z=2. O sistema é possível e indeterminado.

Substituindo x+z=2 na segunda equação: 2-y=3, logo y=-1.

Tomando x como parâmetro, z=2-x, e as soluções são (x,\,-1,\,2-x).

O produto é

xyz = x\cdot(-1)\cdot(2-x) = x^2-2x.

Essa parábola tem concavidade para cima e seu mínimo ocorre no vértice, x=\dfrac{2}{2}=1. O valor mínimo é 1-2=-1.

Logo z=2-1=1.

Solução: (x,y,z)=(1,-1,1), com produto mínimo xyz=-1.

Assuntos: sistemas lineares, matrizes, função quadrática.

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