Questão 16 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

3º dia · Matemática

Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico p(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1.

a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x), então 1/r é uma raiz do polinômio q(x) = x^3 + bx^2 + ax + 1.

b) Determine os valores de a e b para os quais a sequência (p(-1), p(0), p(1)) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a p(2).

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a) Primeiro, r\neq 0, pois p(0)=1\neq 0. Assim 1/r está bem definido. Como r é raiz, p(r)=r^3+ar^2+br+1=0.

Calculando q(1/r):

q\left(\tfrac1r\right)=\frac{1}{r^3}+\frac{b}{r^2}+\frac{a}{r}+1=\frac{1+br+ar^2+r^3}{r^3}=\frac{p(r)}{r^3}=0.

Logo 1/r é raiz de q(x). Portanto, q(1/r)=p(r)/r^3=0.

b) Calculamos os termos da sequência e p(2):

  • p(-1)=-1+a-b+1=a-b
  • p(0)=1
  • p(1)=1+a+b+1=2+a+b
  • p(2)=8+4a+2b+1=9+4a+2b

Para ser PA, a diferença entre termos consecutivos deve ser constante, e essa razão R deve valer p(2):

R=p(0)-p(-1)=1-a+b,\qquad R=p(1)-p(0)=1+a+b.

Igualando as duas expressões, 1-a+b=1+a+b, o que dá a=0. Então R=1+b.

Impondo R=p(2) com a=0:

1+b=9+2b\Rightarrow b=-8.

Verificação: p(x)=x^3-8x+1 dá p(-1)=8, p(0)=1, p(1)=-6, que é uma PA de razão -7. Além disso, p(2)=8-16+1=-7, como pedido.

Portanto, a=0 e b=-8.

Assuntos: polinômios, raízes de polinômios, progressão aritmética.

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