Questão 18 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

3º dia · Matemática

Sabendo que k é um número real, considere a função f(x) = k\text{ sen }x + \cos x, definida para todo número real x.

a) Seja t um número real tal que f(t) = 0. Mostre que f(2t) = -1.

b) Para k = 3, encontre todas as soluções da equação f(x)^2 + f(-x)^2 = 10 para 0 \le x \le 2\pi.

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a) Se f(t)=0, então k\,\sen t+\cos t=0, ou seja, \cos t=-k\,\sen t.

Usando o arco duplo:

f(2t)=k\,\sen 2t+\cos 2t=2k\,\sen t\cos t+\cos^2 t-\sen^2 t.

Substituindo \cos t=-k\,\sen t:

f(2t)=-2k^2\sen^2 t+k^2\sen^2 t-\sen^2 t=-(k^2+1)\,\sen^2 t.

Agora, da relação fundamental:

1=\sen^2 t+\cos^2 t=\sen^2 t+k^2\sen^2 t=(1+k^2)\sen^2 t.

Logo f(2t)=-(k^2+1)\sen^2 t=-1. Fica demonstrado que f(2t)=-1.

b) Com k=3, temos f(x)=3\,\sen x+\cos x. Como seno é ímpar e cosseno é par, f(-x)=-3\,\sen x+\cos x.

Somando os quadrados, os termos cruzados se cancelam:

f(x)^2+f(-x)^2=2\left(9\sen^2 x+\cos^2 x\right).

A equação fica 9\sen^2 x+\cos^2 x=5. Com \cos^2 x=1-\sen^2 x:

8\sen^2 x+1=5\ \Rightarrow\ \sen^2 x=\frac12\ \Rightarrow\ \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.

Em [0,2\pi], isso dá os ângulos cujo seno tem módulo \frac{\sqrt2}{2}, um em cada quadrante.

x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}.

Assuntos: trigonometria, equações trigonométricas, arco duplo.

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