Questão 15 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

3º dia · Matemática

A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.

Três círculos tangentes externamente entre si dois a dois, com centros indicados pelos pontos A, B e C. O círculo de centro A está no canto inferior esquerdo, o de centro B no topo e o de centro C, de maior raio, à direita.

a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5\text{ cm}, a distância entre A e C é de 6\text{ cm} e a distância entre B e C é de 9\text{ cm}.

b) Para a = 2\text{ cm} e b = 3\text{ cm}, determine o valor de c > b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo.

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a) Os círculos são tangentes externamente, então a distância entre dois centros é a soma dos raios correspondentes:

  1. a+b=5
  2. a+c=6
  3. b+c=9

Somando as três equações: 2(a+b+c)=20, logo a+b+c=10.

Subtraindo cada equação desse total:

  • c = 10-5 = 5
  • b = 10-6 = 4
  • a = 10-9 = 1

Conferindo: 1+4=5, 1+5=6 e 4+5=9. Está tudo certo.

a=1\ \text{cm}, b=4\ \text{cm}, c=5\ \text{cm}

b) Com a=2 e b=3, os lados do triângulo ABC são:

  • AB=a+b=5
  • AC=2+c
  • BC=3+c

Como c>3, temos BC>AC e BC>5, então BC é o maior lado. Se o triângulo é retângulo, BC é a hipotenusa. Os outros casos não ocorrem: AC>5=AB e AC<BC impedem que AC ou AB sejam hipotenusa.

Pelo teorema de Pitágoras:

(3+c)^2 = 5^2 + (2+c)^2
9+6c+c^2 = 25 + 4+4c+c^2
2c = 20 \Rightarrow c=10

Conferindo: AC=12, BC=13 e AB=5, e 5^2+12^2=169=13^2. Funciona, e c=10>3.

c=10\ \text{cm}

Assuntos: circunferências tangentes, teorema de pitágoras, sistemas lineares.

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