Questão 14 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017
Sejam c um número real e f(x) = x^2 - 4x + c uma função quadrática definida para todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de y = f(x).
a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para 0 \le x \le 4.
b) Considere os pontos de coordenadas A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), onde a e b são números reais com a < b. Sabendo que o ponto médio do segmento \overline{AB} é M = (1, c), determine a e b.
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Resolução comentada
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a) O vértice da parábola tem abscissa x_v = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2 e ordenada y_v = f(2) = 4 - 8 + c = c - 4.
A soma nula das coordenadas dá:
Logo f(x) = x^2 - 4x + 2, com vértice (2,-2).
Para o esboço em 0 \le x \le 4, use estes pontos:
- f(0) = 2 e f(4) = 2, simétricos em relação a x=2.
- Vértice (mínimo) em (2,-2).
- Raízes: x = 2 \pm \sqrt{2}, aproximadamente 0{,}59 e 3{,}41.
O gráfico é uma parábola com concavidade para cima. Ela parte de (0,2), desce cortando o eixo x em \approx 0{,}59, passa pelo mínimo (2,-2), sobe cortando o eixo x em \approx 3{,}41 e termina em (4,2).
c = 2
b) O ponto médio de \overline{AB} é M=(1,c), então temos duas condições.
- Abscissas: \frac{a+b}{2} = 1 \Rightarrow a+b = 2.
- Ordenadas: \frac{f(a)+f(b)}{2} = c, ou seja, a^2 + b^2 - 4(a+b) + 2c = 2c.
Como a+b=2, a segunda condição fica a^2 + b^2 - 8 = 0, isto é, a^2+b^2 = 8.
Substituindo b = 2 - a:
Assim, a = 1 \pm \sqrt{3}.
Como a<b e b = 2-a, temos a = 1-\sqrt{3} e b = 1+\sqrt{3}. O valor de c não influencia o resultado.
a = 1-\sqrt{3} e b = 1+\sqrt{3}
Assuntos: função quadrática, vértice da parábola, ponto médio.
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