Questão 2 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

2º dia · Física

Movimento browniano é o deslocamento aleatório de partículas microscópicas suspensas em um fluido, devido às colisões com moléculas do fluido em agitação térmica.

a) A figura abaixo mostra a trajetória de uma partícula em movimento browniano em um líquido após várias colisões. Sabendo-se que os pontos negros correspondem a posições da partícula a cada 30 s, qual é o módulo da velocidade média desta partícula entre as posições A e B?

b) Em um de seus famosos trabalhos, Einstein propôs uma teoria microscópica para explicar o movimento de partículas sujeitas ao movimento browniano. Segundo essa teoria, o valor eficaz do deslocamento de uma partícula em uma dimensão é dado por l = \sqrt{2\ D\ t}, onde t é o tempo em segundos e D = kT/r é o coeficiente de difusão de uma partícula em um determinado fluido, em que k = 3\times 10^{-18}\ \text{m}^3/\text{sK}, T é a temperatura absoluta e r é o raio da partícula em suspensão. Qual é o deslocamento eficaz de uma partícula de raio r = 3\ \mu\text{m} neste fluido a T = 300\ \text{K} após 10 minutos?

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

a)

A velocidade média é o deslocamento (a distância em linha reta entre A e B, e não o comprimento da trajetória) dividido pelo intervalo de tempo.

Pela figura, cada divisão da malha vale 10\ \mu\text{m}. De A até B o deslocamento é de 4 divisões numa direção e 3 na outra. Os módulos dos componentes são então 40\ \mu\text{m} e 30\ \mu\text{m}, e o módulo do deslocamento sai do teorema de Pitágoras:

\Delta s = 10\sqrt{4^2+3^2}\ \mu\text{m} = 50\ \mu\text{m}

Entre A e B há 10 intervalos de 30\ \text{s} (os pontos negros marcam as posições a cada 30\ \text{s}), portanto:

\Delta t = 10\times 30 = 300\ \text{s}

A velocidade média fica:

v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{50\ \mu\text{m}}{300\ \text{s}} \approx 0{,}17\ \mu\text{m/s}

v_m \approx 0{,}17\ \mu\text{m/s}

b)

Primeiro calculamos o coeficiente de difusão, com r = 3\ \mu\text{m} = 3\times10^{-6}\ \text{m}:

D = \frac{kT}{r} = \frac{3\times10^{-18}\times 300}{3\times10^{-6}} = 3\times10^{-10}\ \text{m}^2/\text{s}

O tempo de 10\ \text{min} vale t = 600\ \text{s}. Substituindo na expressão de Einstein:

l = \sqrt{2Dt} = \sqrt{2\times 3\times10^{-10}\times 600} = \sqrt{36\times10^{-8}}\ \text{m}
l = 6\times10^{-4}\ \text{m}

l = 6\times10^{-4}\ \text{m} (0,6 mm)

Assuntos: velocidade média, movimento browniano, notação científica.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2015