Questão 21 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014

1º dia · Matemática

A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0{,}5 + \log_3(t + 1), onde o tempo t \ge 0 é dado em anos.

a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0{,}5\text{ m} para 1{,}5\text{ m}?

b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença g(t) - h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.

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a) Primeiro achamos o instante em que a altura é 0{,}5\ \text{m}:

0{,}5 + \log_3(t+1) = 0{,}5 \Rightarrow \log_3(t+1) = 0 \Rightarrow t+1 = 1 \Rightarrow t = 0.

Agora o instante em que a altura é 1{,}5\ \text{m}:

0{,}5 + \log_3(t+1) = 1{,}5 \Rightarrow \log_3(t+1) = 1 \Rightarrow t+1 = 3 \Rightarrow t = 2.

O tempo necessário é a diferença entre os dois instantes: 2 - 0 = 2 anos.

2 anos.

b) Substituímos 3t+2 em h:

g(t) = h(3t+2) = 0{,}5 + \log_3(3t+2+1) = 0{,}5 + \log_3(3t+3).

Fatorando, 3t+3 = 3(t+1). Pela propriedade do logaritmo do produto:

\log_3\big(3(t+1)\big) = \log_3 3 + \log_3(t+1) = 1 + \log_3(t+1).

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g(t) = 1{,}5 + \log_3(t+1).

Subtraindo h(t):

g(t) - h(t) = \big[1{,}5 + \log_3(t+1)\big] - \big[0{,}5 + \log_3(t+1)\big] = 1.

O resultado não depende de t, então a diferença é constante e igual a 1\ \text{m} (o segundo arbusto é sempre 1\ \text{m} mais alto que o primeiro).

g(t) - h(t) = 1 para todo t \ge 0, uma constante.

Assuntos: função logarítmica, propriedades dos logaritmos, função composta.

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