Questão 20 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014
Considere a pirâmide reta de base quadrada, ilustrada na figura abaixo, com lado da base b = 6\text{ m} e altura a.
a) Encontre o valor de a de modo que a área de uma face triangular seja igual a 15\text{ m}^2.
b) Para a = 2\text{ m}, determine o raio da esfera circunscrita à pirâmide.
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a) Cada face triangular tem base b = 6\ \text{m} e altura igual ao apótema h da pirâmide (a altura do triângulo isósceles).
A área da face é:
O apótema, a altura a da pirâmide e a metade do lado da base formam um triângulo retângulo, com h como hipotenusa e catetos a e b/2 = 3. Pelo teorema de Pitágoras:
a = 4\ \text{m}
b) O centro da esfera circunscrita é equidistante dos cinco vértices. Ele fica sobre o eixo da pirâmide, a reta que passa pelo centro da base e pelo vértice V.
A diagonal da base mede 6\sqrt2, então a distância do centro da base a cada vértice da base é 3\sqrt2.
Seja t a altura do centro da esfera em relação ao plano da base, medida positivamente para cima, e seja R o raio.
- Distância aos vértices da base: R^2=(3\sqrt2)^2+t^2=18+t^2.
- Distância ao vértice V, que está a altura 2: R^2=(2-t)^2.
Igualando:
O centro fica abaixo da base, o que é possível porque a pirâmide é baixa. Então:
Conferindo pelo vértice: R=2-(-3{,}5)=5{,}5.
R = 5{,}5\ \text{m}
Assuntos: pirâmide, geometria espacial, esfera circunscrita.
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