Questão 19 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014
Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a_1, a_2, a_3, a_4, ...) é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos (1/a_1, 1/a_2, 1/a_3, 1/a_4, ...) é uma progressão aritmética (PA).
a) Dada a progressão harmônica (2/5, 4/9, 1/2, ...), encontre o seu sexto termo.
b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que b = 2ac/(a + c).
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Resolução comentada
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a) Se a sequência é uma progressão harmônica, os inversos formam uma PA. Invertendo os termos dados:
Ou seja, a PA é \left(\frac52,\frac94,2,\dots\right), ou ainda \left(\frac{10}{4},\frac{9}{4},\frac{8}{4},\dots\right).
A razão é r=\frac94-\frac{10}{4}=-\frac14 (conferindo: 2-\frac94=-\frac14).
O sexto termo da PA é:
O sexto termo da progressão harmônica é o inverso desse valor:
O sexto termo é \dfrac45.
b) Se a, b, c são termos consecutivos de uma progressão harmônica, então \frac1a,\frac1b,\frac1c são termos consecutivos de uma PA.
Em uma PA, o termo central é a média aritmética dos vizinhos:
Somando as frações do numerador:
Como a, b e c são não nulos, podemos inverter os dois lados:
A igualdade está verificada. Observe que a+c\neq0, pois \frac1b\neq0 e \frac1b=\frac{a+c}{2ac}. Fica verificado que b=\dfrac{2ac}{a+c}.
Assuntos: progressão aritmética, progressão harmônica.
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