Questão 18 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014
Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x^2 + ax + b, definidas para todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b.
b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.
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Resolução comentada
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a) O gráfico corta o eixo y em (0, f(0)). Como f(0)=b, temos b=1.
Ser tangente ao eixo x significa ter uma única raiz (raiz dupla), ou seja, discriminante nulo:
Conferindo: com a=2, f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2; com a=-2, f(x)=(x-1)^2. Ambas tocam o eixo x em um único ponto e passam por (0,1).
Resposta: b=1 e a=2 ou a=-2.
b) Se a+b=1, então b = 1-a. Assim:
O ponto comum a todos os gráficos é aquele em que o valor de f(x) não depende de a, isto é, onde o termo que multiplica a se anula: x-1=0, ou seja, x=1.
Nesse caso, f(1)=1+1+a\cdot 0=2.
Verificação direta: f(1)=1+a+b=1+(a+b)=1+1=2, para qualquer a e b com a+b=1.
Resposta: o ponto comum é (1, 2).
Assuntos: função quadrática, discriminante, família de parábolas.
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