Questão 23 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

Question

Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura \frac{3}{4}a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo \theta em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo.

Corte transversal de um cubo sem tampa inclinado de um ângulo θ em relação ao plano horizontal, contendo água até a iminência de transbordar pela borda direita.

a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo \theta.

b) Considerando, agora, a inclinação tal que \tan(\theta) = 1/4, com 0 < \theta < \pi/2, calcule o valor numérico da expressão \cos(2\theta) - \sen(2\theta).

Answer 1

Questão 23 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

1º dia · Matemática

Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura \frac{3}{4}a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo \theta em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo.

Corte transversal de um cubo sem tampa inclinado de um ângulo θ em relação ao plano horizontal, contendo água até a iminência de transbordar pela borda direita.

a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo \theta.

b) Considerando, agora, a inclinação tal que \tan(\theta) = 1/4, com 0 < \theta < \pi/2, calcule o valor numérico da expressão \cos(2\theta) - \sen(2\theta).

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a)
O volume do recipiente sem água é \frac{1}{4} a^3. Como o cubo gira em torno de uma aresta da base, podemos observar a superfície da seção do cubo. (Veja a figura.)
A área da região sem água deve ser a mesma nos dois casos. Então, \frac{1}{4}a^2 = \frac{1}{2}z \times a \Rightarrow z = a/2.

Portanto,

\tan \alpha = \frac{z}{a} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}.

b)
A \tan \alpha = 1/4, com 0 < \alpha < \pi/2 corresponde a um triângulo retângulo de catetos 1 e 4, e, assim, de hipotenusa \sqrt{17}, de onde tiramos os valores de

\operatorname{sen} \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}

Temos, então, as identidades trigonométricas:

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \operatorname{sen}^2 \alpha = \frac{16}{17} - \frac{1}{17} = \frac{15}{17}

e

\operatorname{sen} 2\alpha = 2\operatorname{sen}(\alpha)\cos(\alpha) = 2 \times \frac{4}{17}

Portanto, a diferença é

\cos 2\alpha - \operatorname{sen} 2\alpha = \frac{15 - 8}{17} = \frac{7}{17}

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Resolução comentada

a) Pense no corte transversal: um quadrado de lado a. A área ocupada pela água é \frac{3}{4}a^2, a mesma da situação inicial, porque o volume se conserva.

Na iminência de derramar, a superfície da água (horizontal) passa pelo vértice superior da parede direita. A água forma um trapézio: a base mede a, a parede direita mede a e a parede esquerda mede h. Então:

\frac{a(a+h)}{2}=\frac{3}{4}a^2 \;\Rightarrow\; a+h=\frac{3a}{2} \;\Rightarrow\; h=\frac{a}{2}.

A parte vazia é um triângulo retângulo. Um cateto é a borda superior, de medida a. O outro é o trecho da parede esquerda acima da água, de medida a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}.

A borda superior é paralela à base, que está inclinada de \theta em relação à horizontal. A superfície da água é horizontal. Logo, o ângulo entre a borda e a superfície, no vértice direito do triângulo, é \theta. Assim:

\tg\theta=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2}.

\tg\theta=\dfrac{1}{2}

b) Use as fórmulas do arco duplo em função de t=\tg\theta=\frac14:

\sen 2\theta=\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1/2}{17/16}=\frac{8}{17},\qquad \cos 2\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{15/16}{17/16}=\frac{15}{17}.

Portanto:

\cos 2\theta-\sen 2\theta=\frac{15}{17}-\frac{8}{17}=\frac{7}{17}.

\dfrac{7}{17}

Assuntos: geometria plana, trigonometria, arco duplo.

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Questão 23 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2013