Questão 24 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

Question

Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.

a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?

b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que \cos(\theta) = 3/4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.

Answer 1

Questão 24 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

1º dia · Matemática

Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.

a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?

b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que \cos(\theta) = 3/4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.

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Resposta esperada pela FUVEST

a)
Precisamos conhecer o ângulo interno AÔB. Para tal, basta vislumbrar o triângulo AOS, de que se conhece um cateto, adjacente ao ângulo AÔS, que mede o raio da Terra, e a hipotenusa, que mede o dobro do raio da Terra.

Assim, \cos A\hat{O}S = \frac{6.400}{2 \times 6.400} = \frac{1}{2}.

Portanto, A\hat{O}S = 60^\circ \Rightarrow A\hat{O}B = 120^\circ = \frac{2}{3} \pi\text{ radianos}.

O comprimento do arco é, então, \frac{2}{3} \pi \times 6.400\text{ km} \approx 13.400\text{ km}.

b)
Pela Lei dos Cossenos, temos que

d^2 = [4 + 1 - 4 \times \cos(\theta)] \times 6.400^2\text{ km}^2 = \left[4 + 1 - 4 \times \frac{3}{4}\right] \times 6.400^2\text{ km}^2

= 2 \times 6.400^2\text{ km}^2 \Rightarrow d = \sqrt{2} \times 6.400\text{ km} \approx 9.000\text{ km}

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Resolução comentada

a) Seja O o centro da Terra e S o satélite. A distância OS é o raio mais a altura da órbita: OS = 6400 + 6400 = 12800\ \text{km}.

A tangente SB é perpendicular ao raio OB. Então o triângulo OBS é retângulo em B, com OB = 6400 e hipotenusa OS = 12800:

\cos(B\hat{O}S)=\frac{OB}{OS}=\frac{6400}{12800}=\frac12 \Rightarrow B\hat{O}S = 60^\circ.

Por simetria, A\hat{O}S = 60^\circ também. Logo o arco AB tem ângulo central de 120^\circ = \frac{2\pi}{3} rad.

Comprimento do arco = raio × ângulo em radianos:

\ell = 6400\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{12800\pi}{3}\ \text{km} \approx 13\,400\ \text{km}.

Comprimento do arco AB: \dfrac{12800\pi}{3} km (aproximadamente 13 400 km).

b) No triângulo OCS temos OC = 6400 (raio), OS = 12800 e ângulo \theta em O, com \cos\theta = \frac34. Aplicando a lei dos cossenos:

d^2 = 6400^2 + 12800^2 - 2\cdot 6400\cdot 12800\cdot\frac34.

Colocando 6400^2 em evidência, com 12800 = 2\cdot 6400:

d^2 = 6400^2\left(1 + 4 - 2\cdot 2\cdot\frac34\right)=6400^2(1+4-3)=2\cdot 6400^2.

Portanto d = 6400\sqrt2\ \text{km} \approx 9050\ \text{km}.

Como \cos\theta = 0{,}75 dá \theta \approx 41^\circ < 60^\circ, o ponto C está de fato no arco AB.

d = 6400\sqrt2 km (aproximadamente 9050 km).

Assuntos: trigonometria, lei dos cossenos, comprimento de arco.

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