Questão 22 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013
Considere a matriz A_\alpha = \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ -\frac{1}{\alpha} & -1 \end{bmatrix} que depende do parâmetro real \alpha > 0.
a) Calcule a matriz (A_\alpha + A_{2\alpha})^2.
b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} é transformado pela matriz A_\alpha em um novo ponto da seguinte forma:
Calcule o valor de \alpha, sabendo que o sistema A_\alpha \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 2 \end{bmatrix} admite solução.
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a) Somamos as matrizes, termo a termo. Como A_{2\alpha}=\begin{bmatrix}1&2\alpha\\-\frac{1}{2\alpha}&-1\end{bmatrix}:
Agora elevamos ao quadrado, linha por coluna:
- posição (1,1): 2\cdot 2+3\alpha\left(-\frac{3}{2\alpha}\right)=4-\frac92=-\frac12;
- posição (1,2): 2\cdot 3\alpha+3\alpha\cdot(-2)=0;
- posição (2,1): -\frac{3}{2\alpha}\cdot 2+(-2)\left(-\frac{3}{2\alpha}\right)=0;
- posição (2,2): -\frac{3}{2\alpha}\cdot 3\alpha+(-2)(-2)=-\frac92+4=-\frac12.
Resposta: (A_\alpha+A_{2\alpha})^2=-\frac12\,I, ou seja, a matriz diagonal com -\frac12 na diagonal principal e zeros fora dela.
b) O sistema é
Multiplicando a segunda equação por -\alpha (permitido, pois \alpha>0), obtemos x+\alpha y=-2\alpha.
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo, x+\alpha y. Isso significa que o determinante de A_\alpha é -1+1=0. Então o sistema ou não tem solução ou tem infinitas.
Para haver solução, os lados direitos precisam ser iguais:
Nesse caso, as duas equações coincidem e o sistema é possível e indeterminado, com x+3y=-6.
Resposta: \alpha=3.
Assuntos: matrizes, sistemas lineares.
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