Questão 21 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

Question

Considere o polinômio p(x) = x^2 - 11x + k + 2, em que x é variável real e k um parâmetro fixo, também real.

a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de p(x) por x - 1 é igual a 3?

b) Supondo, agora, k = 4, e sabendo que a e b são raízes de p(x), calcule o valor de \sen\left(\dfrac{\pi}{a} + \dfrac{\pi}{b}\right).

Answer 1

Questão 21 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

1º dia · Matemática

Considere o polinômio p(x) = x^2 - 11x + k + 2, em que x é variável real e k um parâmetro fixo, também real.

a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de p(x) por x - 1 é igual a 3?

b) Supondo, agora, k = 4, e sabendo que a e b são raízes de p(x), calcule o valor de \sen\left(\dfrac{\pi}{a} + \dfrac{\pi}{b}\right).

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a)
Por divisão explícita,

\begin{array}{rcc|l} x^2 & -11x & +k+2 & x-1 \\ \cline{4-4} -x^2 & +x & & x-10 \\ \cline{1-2} & -10x & +k+2 & \\ & +10x & -10 & \\ \cline{2-3} & & k-8 & . \end{array}

Por Briot-Ruffini,

\begin{array}{ccc|c} 1 & -11 & k+2 & 1 \\ \hline 1 & -10 & k-8 & \end{array}

Pelo teorema do resto, p(1) = 1 - 11 + k + 2 = k - 8 = resto.

Assim, para que k - 8 = 3 \Rightarrow k = 11.

b)
Agora temos p(x) = x^2 - 11x + 6 e, pelas propriedades das raízes desse polinômio, a + b = 11 e ab = 6.

Por outro lado,

\frac{\pi}{a} + \frac{\pi}{b} = \frac{\pi (a+b)}{ab} = \frac{11\pi}{6} = \frac{12-1}{6}\pi = 2\pi - \frac{\pi}{6}

Assim, \sen \left(\frac{\pi}{a} + \frac{\pi}{b}\right) = \sen \left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sen \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}.

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a) Pelo teorema do resto, o resto da divisão de p(x) por x-1 é p(1).

p(1)=1-11+k+2=k-8

Impondo que o resto seja 3: k-8=3, logo k=11.

Resposta: k=11.

b) Com k=4, temos p(x)=x^2-11x+6. O discriminante é 121-24=97>0, então as raízes a e b são reais e diferentes de zero, pois p(0)=6\neq 0.

Pelas relações de Girard:

soma: a+b=11
produto: ab=6

Somando as frações:

\frac{\pi}{a}+\frac{\pi}{b}=\pi\cdot\frac{a+b}{ab}=\frac{11\pi}{6}

Como \dfrac{11\pi}{6}=2\pi-\dfrac{\pi}{6}, o seno é negativo, com o mesmo módulo de \sen\dfrac{\pi}{6}:

\sen\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}

Resposta: -\dfrac{1}{2}.

Assuntos: teorema do resto, relações de Girard, seno de arcos notáveis.

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Questão 21 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2013