Questão 18 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

1º dia · Matemática

O diagrama abaixo indica a distribuição dos alunos matriculados em três cursos de uma escola. O valor da mensalidade de cada curso é de R$ 600,00, mas a escola oferece descontos aos alunos que fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, são de 20\% para quem faz dois cursos e de 30\% para os matriculados em três cursos.

a) Por estratégia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total da mensalidade. Calcule o percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo curso para aqueles que fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aqueles que fazem três cursos.

b) Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso?

Diagrama de três conjuntos representados por um triângulo, um círculo e um quadrado sobrepostos. Na região exclusiva do triângulo está o número 9; na exclusiva do círculo, 6; e na exclusiva do quadrado, 8. Na interseção do triângulo com o círculo, fora do quadrado, está 7; na interseção do triângulo com o quadrado, fora do círculo, está 4; na interseção do círculo com o quadrado, fora do triângulo, está 2; e na interseção dos três conjuntos está 3.

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a)

O desconto é aplicado sobre o total da mensalidade. Para descobrir o percentual que incide só sobre o curso adicional, comparamos o valor do desconto com o preço desse curso, R$ 600,00.

  1. Dois cursos: total de 2\times 600 = 1\,200. Desconto de 20\%: 0{,}2\times 1\,200 = 240, ou seja, R$ 240,00. Sobre o segundo curso, que custa R$ 600,00:
    \frac{240}{600} = 0{,}4 = 40\%
  2. Três cursos: total de 3\times 600 = 1\,800. Desconto de 30\%: 0{,}3\times 1\,800 = 540, ou seja, R$ 540,00. Sobre o terceiro curso, que custa R$ 600,00:
    \frac{540}{600} = 0{,}9 = 90\%

O desconto sobre o segundo curso é de 40%, e o desconto sobre o terceiro curso é de 90%.

b)

Alunos em pelo menos dois cursos são os que estão nas interseções, inclusive a tripla: 7 + 4 + 2 + 3 = 16 alunos.

O total de alunos é a soma de todas as regiões do diagrama:

9+6+8+7+4+2+3 = 39

Apenas um curso: 9+6+8 = 23 alunos, que é o mesmo que 39-16.

A probabilidade pedida é

P=\frac{23}{39}\approx 0{,}59 = 59\%

Há 16 alunos em pelo menos dois cursos, e a probabilidade de o aluno estar em apenas um curso é \frac{23}{39}\approx 59\%.

Assuntos: conjuntos, porcentagem, probabilidade.

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