Questão 19 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013
Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação (2 - p)x + (2p + 1)y + 8p + 4 = 0, nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro real.
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y. Encontre o ponto de interseção neste caso.
b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa família para p = 1. Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da circunferência em que o segmento OA é um diâmetro.
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Resolução comentada
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a) Uma reta que corta o eixo y perpendicularmente é horizontal, ou seja, da forma y = k. Na equação da família, isso exige que o coeficiente de x seja nulo:
Substituindo p=2:
A reta y=-4 corta o eixo y (que é x=0) no ponto (0,-4).
p = 2, e o ponto de interseção é (0,-4).
b) Para p=1, a equação fica (2-1)x + (2+1)y + 8+4 = 0, isto é, x + 3y + 12 = 0, como o enunciado indica.
O ponto A está no eixo x, então y=0:
Se OA é diâmetro, o centro é o ponto médio de O=(0,0) e A=(-12,0):
O raio é metade do comprimento de OA: r = \frac{12}{2} = 6.
A equação da circunferência é (x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2:
Verificação: O satisfaz, pois 36 + 0 = 36. A também, pois (-6)^2 + 0 = 36.
(x+6)^2 + y^2 = 36 (equivalente a x^2 + y^2 + 12x = 0).
Assuntos: família de retas, equação da circunferência.
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