Questão 17 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013
Na formulação de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por x, y e z.
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de equações lineares:
Calcule x e y nesse caso.
b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações 24\% \le x + y + z \le 54\%, x \ge 10\%, y \ge 20\% e z = 10\%. Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante.
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Resolução comentada
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a) O sistema já está escalonado, então resolvemos de baixo para cima.
Da terceira equação, z = 0{,}25.
Substituindo na segunda:
Substituindo y e z na primeira:
Conferindo: 3(0{,}10)+0{,}15-0{,}25 = 0{,}20 ✓.
Os teores são x = 10\% e y = 15\%.
x = 0{,}10 (10%) e y = 0{,}15 (15%)
b) Com z = 10\%, a condição 24 \le x+y+z \le 54 fica
As outras condições são x \ge 10 e y \ge 20.
Se x \ge 10 e y \ge 20, então x + y \ge 30, que já é maior que 14. Logo a restrição x+y \ge 14 é automaticamente satisfeita e não corta a região.
A região é então definida por:
- x \ge 10
- y \ge 20
- x + y \le 44
É um triângulo, com os lados incluídos (as desigualdades não são estritas). Os vértices vêm do cruzamento das retas:
- x = 10 e y = 20: ponto (10;\,20).
- y = 20 e x+y = 44: ponto (24;\,20).
- x = 10 e x+y=44: ponto (10;\,34).
No plano (x, y), com eixos em %, hachura-se o triângulo de vértices (10,20), (24,20) e (10,34). Ele fica à direita da reta vertical x=10, acima da reta horizontal y=20 e abaixo da reta x+y=44, que liga (24,20) a (10,34).
Triângulo (com bordas) de vértices (10;20), (24;20) e (10;34).
Assuntos: sistemas lineares, inequações no plano cartesiano.
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