Questão 16 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013
A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
| Numeração brasileira (t) | Comprimento do calçado (x) |
|---|---|
| 35 | 23,8 cm |
| 42 | 27,3 cm |
Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x - 20) / 3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados n_k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n_1 = 5, em que n_k = f\big(c_k\big), com k natural, calcule o comprimento c_5.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Temos dois pontos (x,t): (23{,}8;\ 35) e (27{,}3;\ 42). Como t(x)=ax+b, o coeficiente a é a taxa de variação:
Usando o ponto (23{,}8;\ 35) para achar b:
Conferindo com o outro ponto: 2\cdot 27{,}3-12{,}6=54{,}6-12{,}6=42. ✔
Assim, t(x)=2x-12{,}6. (Pelo outro caminho, c=\frac{1}{2}=0{,}5 e d=6{,}3, pois x(t)=0{,}5t+6{,}3.)
a=2 e b=-12{,}6
b) Os termos n_k formam uma PA de primeiro termo 5 e razão 0{,}5, então:
Como n_5=f(c_5), basta resolver a equação:
Conferindo: 5\cdot 4{,}2/3=21/3=7. ✔
c_5=24{,}2\ \text{cm}
Assuntos: função afim, progressão aritmética.
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