Questão 15 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

Question

A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000\ \text{m}^2 de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100 m, medidos a partir da borda do reservatório.

Reservatório retangular com hachuras diagonais azuis, cercado por uma faixa de terra sombreada em rosa claro. A borda externa da faixa tem lados retos paralelos aos lados do reservatório e cantos arredondados em quartos de círculo. Linhas prolongam os lados do reservatório até a borda externa, dividindo a faixa em quatro regiões retangulares e quatro regiões de quarto de círculo.

a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso.

b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V(t) = V_0\ 2^{-t}, em que V_0 é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10\% do volume inicial? Utilize, se necessário, \log_{10} 2 \approx 0{,}30.

Answer 1

Questão 15 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

1º dia · Matemática

A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000\ \text{m}^2 de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100 m, medidos a partir da borda do reservatório.

Reservatório retangular com hachuras diagonais azuis, cercado por uma faixa de terra sombreada em rosa claro. A borda externa da faixa tem lados retos paralelos aos lados do reservatório e cantos arredondados em quartos de círculo. Linhas prolongam os lados do reservatório até a borda externa, dividindo a faixa em quatro regiões retangulares e quatro regiões de quarto de círculo.

a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso.

b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V(t) = V_0\ 2^{-t}, em que V_0 é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10\% do volume inicial? Utilize, se necessário, \log_{10} 2 \approx 0{,}30.

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Resposta esperada pela Comvest

a)
Seja x o comprimento de um dos lados. Então, x \times 2x = 32 \times 10^4\text{ m}^2 \to x = 400\text{ m}. Os quatro retângulos laterais da APP terão área 6x \times 100\text{ m}^2 = 24 \times 10^4\text{ m}^2.

Para completar a APP, há quatro setores circulares iguais a um quarto de círculo de raio 100\text{ m}, resultando em um círculo completo de área \pi \times 100^2\text{ m}^2 = \pi \times 10^4\text{ m}^2. Assim, a APP será de (24 + \pi) \times 10^4\text{ m}^2.

b)

\frac{V(t)}{V_0} = 10\% = 0{,}1 \Rightarrow 2^{-t} = \frac{1}{10} \Rightarrow 2^t = 10 \Rightarrow t \log_{10} 2 = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{\log_{10} 2} \approx \frac{1}{0{,}3} = \frac{10}{3}

Ou seja, aproximadamente 3 meses e 10 dias.

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Resolução comentada

a) Sejam x e 2x os lados do reservatório. Então x\cdot 2x = 320\,000, ou seja, x^2 = 160\,000 e x = 400\ \text{m}. Os lados medem 400\ \text{m} e 800\ \text{m}.

Pelas linhas da figura, a faixa de 100 m se divide em 8 regiões:

Dois retângulos de 800\times 100: 2\cdot 80\,000 = 160\,000\ \text{m}^2.
Dois retângulos de 400\times 100: 2\cdot 40\,000 = 80\,000\ \text{m}^2.
Quatro quartos de círculo de raio 100\ \text{m}, que juntos formam um círculo inteiro: \pi\cdot 100^2 = 10\,000\pi\ \text{m}^2.

Somando:

A = 160\,000 + 80\,000 + 10\,000\pi = 240\,000 + 10\,000\pi\ \text{m}^2

Com \pi\approx 3{,}14, isso dá aproximadamente 271\,400\ \text{m}^2.

Área da APP = (240\,000 + 10\,000\pi)\ \text{m}^2 \approx 2{,}7\times 10^5\ \text{m}^2.

b) Queremos V(t) = 0{,}1\,V_0, então:

V_0\,2^{-t} = \frac{V_0}{10} \Rightarrow 2^{t} = 10

Aplicando \log_{10} dos dois lados:

t\cdot\log_{10}2 = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{0{,}30} = \frac{10}{3}\approx 3{,}33\ \text{meses}

O tempo necessário é \dfrac{10}{3} meses, ou seja, cerca de 3 meses e 10 dias.

Assuntos: área de figuras planas, função exponencial e logaritmo.

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Questão 15 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2013