Questão 14 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2013

1º dia · Matemática

Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas: \overline{AB} = 20, \overline{BC} = 15 e \overline{AC} = 10.

Triângulo ABC com a base AC prolongada horizontalmente para a direita e uma linha tracejada vertical descendo do vértice B até o prolongamento, com indicação de ângulo de 90°

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que \overline{BD} = 3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.

b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.

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a) Como DE \parallel AC, o triângulo EBD é semelhante ao triângulo ABC. Os dois têm o vértice B em comum e ângulos iguais nas bases. A razão de semelhança é a razão entre lados correspondentes, BC e BD:

\frac{BC}{BD}=\frac{15}{3}=5

Em triângulos semelhantes, as alturas correspondentes (H relativa a AC e h relativa a ED) têm a mesma razão. Logo:

\frac{H}{h}=5

H/h = 5

b) Como 20^2 > 15^2+10^2, o ângulo em C é obtuso. Por isso o pé da altura, P, fica no prolongamento de AC, depois de C, como na figura. Sejam CP=x e BP=H.

  1. No triângulo retângulo BPC: x^2+H^2=15^2=225.
  2. No triângulo retângulo BPA, com AP=10+x: (10+x)^2+H^2=20^2=400.
  3. Subtraindo a primeira equação da segunda: 100+20x=175, então x=\dfrac{15}{4}=3{,}75.
  4. Substituindo na primeira: H^2=225-\dfrac{225}{16}=\dfrac{225\cdot 15}{16}.

Portanto:

H=\frac{15\sqrt{15}}{4}\approx 14{,}5

H=\dfrac{15\sqrt{15}}{4}

Assuntos: semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, altura de triângulo.

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