Questão 15 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012

1º dia · Matemática

O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de

\frac{x + 1}{x} = x.

a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.

b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula

F(n) = \begin{cases} 1, & \text{se } n = 1 \text{ ou } 2; \\ F(n - 1) + F(n - 2), & \text{se } n > 2. \end{cases}

Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 10° e o 11° termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal para o número áureo.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Reescrevendo a equação, obtemos

x^2 - x - 1 = 0.

Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Báskara:

x = \frac{-(-1) \bot \backslash pm \backslash sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.

Portanto, a raiz positiva da equação é x = (1 + \sqrt{5}) / 2.

Resposta: O número áureo é (1 + \sqrt{5}) / 2 .

b) Aplicando a fórmula recursiva de F(n), obtemos F(9) = 21 + 13 = 34, F(10) = 34 + 21 = 55 e F(11) = 55 + 34 = 89. Assim, a aproximação desejada para o número áureo é 89 / 55 \approx 1{,}6 .

Resposta: O 10^o termo da sequência é 55 e o 11^o termo é 89. O valor aproximado do número áureo é 1,6.

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Questão 15 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2012