Resposta esperada pela FUVEST
a) O centro da tábua está sempre a 60 cm do chão. Se o extremo direito dessa tábua está a 20 cm do chão, então a diferença de altura entre o extremo direito e o centro da tábua é igual a 40 cm, como mostra a figura abaixo.
[Figura: Triângulo retângulo com cateto vertical esquerdo x, hipotenusa dividida em dois segmentos de 120 e 120, e segmento vertical intermediário medindo 40]
Considerando que uma metade da tábua tem 120 cm de comprimento e usando semelhança de triângulos, constatamos que a diferença de altura entre as extremidades da tábua, que denominamos x, pode ser obtida a partir da equação x/40 = 240/120 . Daí, x = 80\text{ cm} , de modo que a extremidade esquerda da tábua está a 80 + 20 = 100\text{ cm} do chão.
Resposta: A extremidade esquerda da gangorra está a 1 m do chão.
a') O centro da tábua está sempre a 60 cm do chão. Essa distância corresponde à base média do trapézio cujos vértices são as extremidades da tábua e suas projeções verticais sobre o solo, como mostra a figura abaixo.
[Figura: Trapézio retângulo com bases verticais x e 20, e segmento intermediário vertical medindo 60]
Se o extremo direito da tábua está a 20 cm do chão, então (x + 20)/2 = 60 . Desse modo, x + 20 = 120 , ou simplesmente x = 100\text{ cm} .
Resposta: A extremidade esquerda da gangorra está a 1 m do chão.
a'') A figura abaixo mostra o triângulo obtido prolongando o segmento de reta que representa a tábua, até que esse encontre a linha horizontal que representa o chão.
[Figura: Triângulo retângulo com hipotenusa dividida em segmentos de comprimentos 120, 120 e z, e segmentos verticais x, 60 e 20]
Usando semelhança de triângulos, obtemos 60/20 = (120 + z)/z . Logo, 3z = 120 + z , ou seja, z = 120/2 = 60\text{ cm} . Recorrendo, novamente, à propriedade da semelhança de triângulos, concluímos que x/20 = (120 + 120 + z)/z . Assim, x/20 = 300/60 , de modo que x = 100\text{ cm}
Resposta: A extremidade esquerda da gangorra está a 1 m do chão.
b) O triângulo formado pela metade direita da tábua, pela lateral da base e pelo chão tem ângulos internos \alpha , \beta e \gamma , como mostra a figura abaixo, que representa o lado direito da gangorra. Da figura, concluímos que \beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ . Além disso, \sen(\gamma) = 60/120 = 1/2 . Logo, \gamma = 30^\circ , de modo que \alpha = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ .
[Figura: Triângulo com altura vertical 60, hipotenusa 120, ângulo de 60° na base e ângulos internos designados por alfa, beta e gama]
Resposta: O ângulo \boldsymbol{\alpha} mede \mathbf{30^\circ} .
b') O triângulo da base da gangorra é isósceles e tem altura 60 cm, como mostra a figura abaixo, na qual se vê a metade direita da gangorra.
[Figura: Triângulo mostrando altura vertical 60, hipotenusa 120, base dividida em segmentos r e s, ângulo alfa no vértice superior e ângulos de 60° e beta]
Para determinar a metade do comprimento da aresta da base da gangorra, usamos o teorema de Pitágoras, que diz que (2r)^2 = 60^2 + r^2 , ou seja, r = \sqrt{60^2}/3 = 60/\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\text{ cm} . Além disso, o triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 120 cm (metade do comprimento da tábua) tem catetos de comprimento 60 cm e (s + r) . Usando novamente o teorema de Pitágoras, obtemos 120^2 = 60^2 + (r + s)^2 , de modo que r + s = \sqrt{120^2 - 60^2} = \sqrt{14400 - 3600} = \sqrt{10800} = 60\sqrt{3}\text{ cm} . Assim, s = 60\sqrt{3} - 20\sqrt{3} = 40\sqrt{3}\text{ cm} .
Usando, agora, a lei dos senos e observando que \beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ , temos \sen(\alpha)/40\sqrt{3} = \sen(\beta)/120 = \sen(120^\circ)/120 = \sqrt{3}/240 . Logo, \sen(\alpha) = 40(\sqrt{3})^2/240 = 120/240 = 1/2 , de modo que \alpha = 30^\circ .
Resposta: O ângulo \boldsymbol{\alpha} mede \mathbf{30^\circ} .
b'') O triângulo da base da gangorra é isósceles e tem altura 60 cm, como mostra a figura abaixo, na qual se vê a metade direita da gangorra.
[Figura: Triângulo mostrando altura vertical 60, hipotenusa 120, ângulo de 60° na base e ângulo no vértice superior dividido em 30° e alfa]
A partir do triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 120 cm e que tem um cateto com 60 cm de comprimento, concluímos que \cos(30^\circ + \alpha) = 60/120 = 1/2 . Logo, 30^\circ + \alpha = 60^\circ , de modo que \alpha = 30^\circ .
Resposta: O ângulo \boldsymbol{\alpha} mede \mathbf{30^\circ} .
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