Questão 18 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2011
Define-se como ponto fixo de uma função f o número real x tal que f(x) = x. Seja dada a função
a) Calcule os pontos fixos de f(x).
b) Na região quadriculada abaixo, represente o gráfico da função f(x) e o gráfico de g(x) = x, indicando explicitamente os pontos calculados no item (a).
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a) Ponto fixo é o x que satisfaz f(x)=x, com x\neq -\tfrac12 para a função estar definida:
- Multiplicando por x+\tfrac12: 1=(x-1)\left(x+\tfrac12\right)=x^2-\tfrac{x}{2}-\tfrac12.
- Isso dá x^2-\tfrac{x}{2}-\tfrac32=0, ou seja, 2x^2-x-3=0.
- Por Bhaskara: x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\dfrac{1\pm5}{4}, logo x=\tfrac32 ou x=-1.
Verificação: f\left(\tfrac32\right)=\tfrac12+1=\tfrac32 e f(-1)=\dfrac{1}{-1/2}+1=-2+1=-1. Os dois valores servem.
Pontos fixos: x=-1 e x=\tfrac32.
b) O gráfico de g(x)=x é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares, que passa pela origem.
O gráfico de f é uma hipérbole, obtida deslocando y=\dfrac1x em \tfrac12 para a esquerda e em 1 para cima. Suas assíntotas são:
- vertical: x=-\tfrac12;
- horizontal: y=1.
Pontos úteis para traçar:
| x | -\tfrac32 | -1 | -\tfrac34 | -\tfrac14 | 0 | \tfrac12 | \tfrac32 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | -1 | -3 | 5 | 3 | 2 | \tfrac32 |
Para x>-\tfrac12, o ramo está acima de y=1. Ele desce vindo de +\infty, perto da assíntota vertical, passa por (0,3), \left(\tfrac12,2\right) e \left(\tfrac32,\tfrac32\right), e se aproxima de y=1 por cima.
Para x<-\tfrac12, o ramo está abaixo de y=1. Ele sai de -\infty, perto da assíntota vertical, passa por \left(-\tfrac34,-3\right), (-1,-1) e \left(-\tfrac32,0\right), e se aproxima de y=1 por baixo quando x\to-\infty.
A reta y=x corta a hipérbole exatamente nos pontos calculados no item (a). Marque-os no desenho: (-1,-1) e \left(\tfrac32,\tfrac32\right).
Assuntos: pontos fixos, função homográfica, gráfico de funções.
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