Questão 20 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2011

1º dia · Matemática

Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10 \times 20\text{ cm}, deve ser recortada conforme mostra a figura ao lado. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por

Placa retangular de madeira de dimensões 10 por 20 com um recorte retangular no canto superior direito de altura w

x_{\text{CG}}(w) = \frac{400 - 15w}{80 - 2w} \quad \text{e} \quad y_{\text{CG}}(w) = \frac{400 + (w - 20)^2}{80 - 2w},

em que x_{\text{CG}} é a coordenada horizontal e y_{\text{CG}} é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem.

a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150\text{ cm}^2.

b) Determine uma expressão geral para w(x_{\text{CG}}), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada x_{\text{CG}}, e calcule y_{\text{CG}} quando x_{\text{CG}} = 7/2\text{ cm}.

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a) Pelas fórmulas dadas, com w=0 (sem recorte) o centro de gravidade é (5;10), e a área é 200\ \text{cm}^2. O recorte é um retângulo de altura w e largura constante c, e a figura mostra que c é a largura da parte de cima que sobra. Para achar c, calculamos a coordenada x do centro de gravidade como média ponderada pelas áreas:

x_{CG}=\frac{200\cdot 5 - cw\,(10-c/2)}{200-cw}.

Comparando com \dfrac{400-15w}{80-2w}=\dfrac{1000-37{,}5w}{200-5w}, obtemos c=5 cm. Então:

A(w)=200-5w.

O recorte ocupa 5\times w, e o centro dele tem x=7{,}5, o que confere com o 37{,}5w do numerador.

Para A(w)=150:

  1. 200-5w=150 \Rightarrow w=10.
  2. x_{CG}=\dfrac{400-150}{80-20}=\dfrac{250}{60}=\dfrac{25}{6}.
  3. y_{CG}=\dfrac{400+(10-20)^2}{80-20}=\dfrac{500}{60}=\dfrac{25}{3}.

A(w)=200-5w e, para A=150\ \text{cm}^2, w=10 cm e (x_{CG},y_{CG})=\left(\dfrac{25}{6},\dfrac{25}{3}\right)\approx(4{,}17;\,8{,}33) cm.

b) Isolamos w na expressão de x_{CG}:

x(80-2w)=400-15w \Rightarrow 80x-2xw=400-15w \Rightarrow w(15-2x)=400-80x.

Logo:

w(x)=\frac{400-80x}{15-2x}=\frac{80(5-x)}{15-2x}.

Para x_{CG}=\dfrac72:

  1. w=\dfrac{400-280}{15-7}=\dfrac{120}{8}=15 cm.
  2. y_{CG}=\dfrac{400+(15-20)^2}{80-30}=\dfrac{425}{50}=\dfrac{17}{2}.

Como 0\le w\le 20, o valor w=15 é válido.

w(x_{CG})=\dfrac{400-80x_{CG}}{15-2x_{CG}} e, para x_{CG}=7/2 cm, y_{CG}=\dfrac{17}{2}=8{,}5 cm.

Assuntos: funções, área de figuras planas, centro de gravidade.

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