Questão 10 da UFPR 2023

Substituindo a+b=c^2 na segunda equação, obtemos c^2 + c = 20, ou seja, c^2 + c - 20 = 0. Aqui, porém, cuidado: as duas equações precisam valer juntas, então c é determinado.

1. c^2 + c - 20 = 0 dá c = \frac{-1 \pm 9}{2}, isto é, c = 4 ou c = -5.
2. Como c é inteiro positivo, c = 4.
3. Então a + b = 4^2 = 16.
4. Conferindo: a+b+c = 16+4 = 20, o que satisfaz a segunda equação.

Agora contamos os pares ordenados (a,b) de inteiros positivos com a+b=16. Como a \ge 1 e b = 16 - a \ge 1, temos a de 1 até 15.

Isso dá 15 valores de a, cada um com um único b. Logo há 15 triplas: (1,15,4), (2,14,4), \dots, (15,1,4).

A palavra "ordenadas" importa: (1,15,4) e (15,1,4) contam como triplas diferentes, então não dividimos por 2.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece que a=b=8 também é solução, ou conta como se a fosse de 1 a 14; o certo é a de 1 a 15, com triplas ordenadas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhuma contagem correta; a quantidade de valores possíveis de a é 15.
• BNão tem base na contagem; ignora parte dos valores de a de 1 a 15.
• CContagem errada, perde dois valores de a entre 1 e 15.
• DPerde um valor, por exemplo ao excluir a=b=8 ou contar só 14 dos 15 valores de a.

Assuntos: equação do segundo grau, contagem de soluções inteiras.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.