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Questão 45 da UFPR 2007

1ª fase · Física: Trabalho de uma força e teorema da energia cinética

Um engenheiro mecânico projetou um pistão que se move na direção horizontal dentro de uma cavidade cilíndrica. Ele verificou que a força horizontal F, a qual é aplicada ao pistão por um agente externo, pode ser relacionada à sua posição horizontal x por meio do gráfico abaixo. Para ambos os eixos do gráfico, valores positivos indicam o sentido para a direita, enquanto valores negativos indicam o sentido para a esquerda. Sabe-se que a massa do pistão vale 1,5 kg e que ele está inicialmente em repouso. Com relação ao gráfico, considere as seguintes afirmativas:

Gráfico da força F (N) em função da posição horizontal x (cm). A curva parte de (0, 0), cresce linearmente até (1, 15), mantém-se constante em 15 até x = 2, decresce linearmente até (4, 0), permanece em zero de x = 4 até x = 5, decresce linearmente até (6, -12) e sobe linearmente até (7, 0).

  1. O trabalho realizado pela força sobre o pistão entre x = 0 e x = 1\text{ cm} vale 7{,}5 \times 10^{-2}\text{ J}.
  2. A aceleração do pistão entre x = 1\text{ cm} e x = 2\text{ cm} é constante e vale 10\text{ m/s}^2.
  3. Entre x = 4\text{ cm} e x = 5\text{ cm}, o pistão se move com velocidade constante.
  4. O trabalho total realizado pela força sobre o pistão entre x = 0 e x = 7\text{ cm} é nulo.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
  2. B
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
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Resolução comentada

O trabalho de uma força variável é a área sob o gráfico F \times x, com sinal (área abaixo do eixo é negativa). Lembre-se de converter cm para m.

Afirmativa 1. Entre 0 e 1 cm a área é um triângulo:

W = \frac{0{,}01 \cdot 15}{2} = 7{,}5\times10^{-2}\ \text{J}

Verdadeira.

Afirmativa 2. Entre 1 e 2 cm a força é constante, 15 N, então a aceleração é constante:

a = \frac{F}{m} = \frac{15}{1{,}5} = 10\ \text{m/s}^2

Verdadeira.

Afirmativa 3. Entre 4 e 5 cm a força é nula, então a aceleração é nula. Como o pistão já vinha se movendo (ganhou energia antes), ele segue com velocidade constante, diferente de zero. Verdadeira.

Afirmativa 4. Calculando as áreas:

  1. De 0 a 1 cm: 7{,}5\times10^{-2} J.
  2. De 1 a 2 cm: 0{,}01\cdot15 = 0{,}15 J.
  3. De 2 a 4 cm: \frac{0{,}02\cdot15}{2} = 0{,}15 J.
  4. De 4 a 5 cm: 0.
  5. De 5 a 7 cm: -\frac{0{,}02\cdot12}{2} = -0{,}12 J.

Total: 0{,}075+0{,}15+0{,}15-0{,}12 = 0{,}255\ \text{J} \neq 0. Falsa.

São verdadeiras as afirmativas 1, 2 e 3.

Alternativa E.

Pegadinha: A afirmativa 4 engana quem acha que o trabalho se anula só por haver área negativa; as áreas positivas são bem maiores que a negativa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que as afirmativas 1 e 2 também são verdadeiras.
  • BDeixa de fora a afirmativa 3: força nula implica velocidade constante, não repouso.
  • CConsidera a 4 verdadeira, mas o trabalho total é 0,255 J, pois a área positiva supera a negativa.
  • DOmite a afirmativa 2, cuja aceleração é 15/1,5 = 10 m/s².

Assuntos: Trabalho de uma força e teorema da energia cinética, Leis de Newton e aplicações.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗